Математическое моделирование и вычислительный эксперимент
Правильная ссылка на статью:
Коробейников А.Г., Гришенцев А.Ю.
Увеличение скорости сходимости метода конечных разностей на основе использования промежуточного решения
// Кибернетика и программирование.
2012. № 2.
С. 38-46.
DOI: 10.7256/2306-4196.2012.2.13864 URL: https://nbpublish.com/library_read_article.php?id=13864
Аннотация:
Для исследования характеристик процесса функционирования любой системы математическими методами, включая и машинные, должна быть проведена формализация этого процесса, т. е. построена математическая модель. Под математическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта (математической модели), и исследование этой математической модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи. Любая математическая модель, как и всякая другая, описывает реальный объект лишь с некоторой степенью приближения к действительности. В работе представлен метод вычисления промежуточного решения в n-мерных задачах с граничными условиями, способствующий ускорению процесса сходимости МКР. В практической реализации этого метода число итераций, для достижения заданной невязки, было снижено в 10 – 100 раз, за счёт поиска промежуточного решения. Таким образом, указанный способ можно применять для существенного повышения эффективности МКР.
Ключевые слова:
математическая модель, дифференциальные уравнения, МКР, МКЭ, конечные разности, конечные элементы, численные методы, устойчивость, n-мерные задачи, математическое моделирование
Abstract:
To study the characteristics of the process of functioning of any system of mathematical methods, including the engine, should be carried out formalization of the process, ie. a mathematical model. By mathematical modeling we mean the process of establishing compliance with this real object of a mathematical object (mathematical model), and the study of the mathematical model, which allows to obtain characteristics of this real object. A type of a mathematical model depends both on the nature of the real object and tasks of the research and the required reliability and accuracy of the solution of this problem. Any mathematical model, like any other, describes the real object only with a certain degree of approximation to reality. This paper presents a method for calculating interim solution in n-dimensional problem with boundary conditions, contributing to the acceleration of the convergence process of a finite difference method. In the practical implementation of this method the number of iterations to achieve a given residual was reduced to 10 - 100 times, due to the search of the intermediate solutions. Thus, this method can be used to significantly improve the efficiency of a finite difference method.
Keywords:
numerical methods, finite elements, finite differences, FEM, MKP, differential equations, mathematical model, stability, n-dimensional problem, mathematical modeling