Аннотация: В рамках междисциплинарного подхода историки все чаще применяют в своих исследованиях идеи и методы точных математических наук. Такое, например, возникает в задачах реконструкции из области исторической географии, когда для традиционного анализа оказывается недостаточно исходных данных.
Предметом настоящего исследования является моделирование системы пространственного размещения средневекового населения и демонстрация его результатов на конкретном примере. Для учета условия неоднородности территории при моделировании автором развивается вариационный подход, предложенный С.М. Гусейн-Заде. Он основан на представлении, что в процессе расселения по территории каждый из его участников руководствуется вполне естественными соображениями. Например, таковыми является достижение максимальной доступности к своему обрабатываемому участку, максимальной близости к центральному поселению (центру).
Использование методов вариационного исчисления и оптимальности Парето позволяет выявлять и численно описывать соотношения между оптимальными параметрами системы. Для решения данной задачи реконструкции ранее предлагалась модель двухуровневой иерархии размещения центров. Ее апробация на материале писцового описания Шелонской пятины Новгородской земли конца XV в. показала высокую степень согласования реальных данных теоретическим. Как известно, в отличие от Новгорода, первое сохранившееся писцовое описание псковских земель относится ко второй половине 80-х гг. XVI столетия. Оно фиксируют огромную массу запустевших и брошенных земель вследствие Ливонской войны и последовавшего хозяйственного разорения третьей четверти XVI в.
Для оценки масштаба этого кризиса в первую очередь необходимы данные о численности сельского населения в предшествующий период времени. К сожалению, писцовое описание середины XVI в., наиболее близкое к нему по времени, не сохранилось. Однако вышеупомянутое первое сохранившееся писцовое описание содержит ретроспективную информацию о более раннем времени, что позволяет применить результаты моделирования для решения искомой задачи реконструкции, что является новизной. Сравнение рассчитанной оценки численности с аналогичными оценками по Шелонской и Деревской пятинам показывает, что человеческие ресурсы Псковской земли середины XVI в. и наиболее развитых новгородских пятин конца XV в. примерно совпадали.

Abstract: As part of an interdisciplinary approach, historians are increasingly using the ideas and methods of the mathematical sciences in their research. This, for example, arises in reconstruction problems from the field of historical geography, when the initial data is insufficient for traditional analysis. The subject of this study is to model the system of spatial distribution of the medieval population and demonstrate its results using a specific example. To take into account the condition of territory heterogeneity during modeling, the author develops a variational approach proposed by S.M. Huseyn-Zade. Using the methods of the calculus of variations and Pareto optimality within the framework of this approach makes it possible to identify and numerically describe the relationships between the optimal parameters of the system. To solve this problem of reconstruction, a model of a two-level hierarchy of placement of centers was previously proposed. Its approbation on the material of the scribal description of the Shelonskaya Pyatina of the Novgorod land at the end of the 15th century showed a high degree of correlation between real and theoretical data. The first surviving scribal description of the Pskov lands dates back to the second half of the 80s XVI century. It records a huge mass of abandoned lands as a result of the Livonian War. To assess the scale of this crisis, we first need data on the size of the rural population in the previous period of time. Unfortunately, the scribal description of the mid-16th century, which is closest to it in time, has not survived. However, the above-mentioned first surviving scribal description contains retrospective information about an earlier time, which makes it possible to apply the modeling results to solve the desired reconstruction problem, which is novel.

Аннотация: Предметом настоящего исследования является моделирование системы пространственного размещения средневекового населения. Для учета условия неоднородности территории при моделировании автором развивается вариационный подход, предложенный С.М. Гусейн-Заде. В основе модели лежит представление о заселении, размещении населения на территории как о процессе, при котором каждый из его участников руководствуется в своей деятельности достижением целей, продиктованных естественными соображениями, например, максимальной доступности к своему обрабатываемому участку, максимальной близости к центральному поселению (центру). Использование в рамках этого подхода методов вариационного исчисления и понятия оптимальности Парето позволяет выявлять и численно описывать соотношения между оптимальными параметрами системы. В предыдущей статье автором была предложена модель одноуровневой иерархии размещения центров (центральных поселений). Дополнительный анализ исторического материала приводит к необходимости уточнения модели, а именно добавления в нее иерархии центров. В связи с этим, в настоящей статье предлагается модель пространственного размещения с двухуровневой иерархией центров.
Апробация предложенной модели проводится на материале писцовых книг Шелонской пятины Новгородской земли конца XV века. Высокая степень соответствия полученных теоретических и эмпирических данных позволяет рассматривать математическое моделирование в качестве адекватного и удобного вспомогательного средства при изучении характера и динамики систем исторического сельского расселения.
Возможности предложенного моделирования также и в плане восполнения данных демонстрируются на примере задачи реконструкции приблизительной численности населения Шелонской пятины рассматриваемого периода времени.

Abstract: The subject of this study is the modeling of the spatial distribution of the medieval population. To take into account the conditions of heterogeneity of the territory in modeling, the author develops a variational approach proposed by S.M. Huseyn-Zadeh. The model is based on the idea of settlement, placement of the population on the territory as a process in which each of its participants is guided in their activities by achieving goals dictated by natural considerations, for example, maximum accessibility to their cultivated area, maximum proximity to the central settlement (center). Using the methods of calculus of variations and the concept of Pareto optimality within this approach makes it possible to identify and numerically describe the relationships between the optimal parameters of the system. In the previous paper, the author proposed a model of a one-level hierarchy of the placement of centers (central settlements). Additional analysis of historical material leads to the need to refine the model, namely, adding a hierarchy of centers to it. In this regard, this paper proposes a model of spatial placement with a two-level hierarchy of centers.
The approbation of the proposed model is carried out on the material of the scribal books of the Shelonskaya Pyatina of the Novgorod land of the end of the XV century. The high degree of conformity of the obtained theoretical and empirical data allows us to consider mathematical modeling as an adequate and convenient auxiliary tool in studying the nature and dynamics of historical rural settlement systems.
The possibilities of the proposed modeling also in terms of filling data gaps are demonstrated by the example of the task of reconstructing the approximate population of the Shelonskaya Pyatina of the considered time period.

Аннотация: В процессе изучения систем исторического расселения исследователи все чаще привлекают идеи и методы математического моделирования. В основе наиболее популярного – вероятностного подхода– лежит представление о том, что в процессе пространственного размещения населения преобладающую роль играет случайный фактор. А степень этой случайности можно выявлять, используя возможности обширного аппарата теории вероятностей и математической статистики. В частности, согласно широко используемой пуассоновской модели, события, заключающиеся в появлении новых (и исчезновении старых) поселений на непересекающихся площадках и отрезках времени, независимы друг от друга, а вероятность двух и более таких событий на одном месте чрезвычайно мала (соответствующая величина распределена по закону Пуассона).   Цель настоящей статьи заключается в ознакомлении читателя с базовыми традиционными положениями данного подхода, с особенностями его методологии, текущими пределами и возможными новыми горизонтами для вероятностного моделирования систем исторического расселения. Для этого в настоящей статье рассматриваются два исследования, зарубежное и отечественное, посвященные моделированию систем исторического расселения разных эпох. В частности, указывается на критичную зависимость подхода, представленного в этих исследованиях, от масштаба и однородности условий изучаемой территории. Выход из данной ситуации автору настоящей статьи представляется на пути привлечения для моделирования новых типов данных исторических источников, пересмотра и отказа от излишних предположений о конкретном характере процесса расселения.

Abstract: In the process of studying the systems of historical settlement, researchers are increasingly drawing on ideas and methods of mathematical modeling. The most popular - the probabilistic approach - is based on the idea that a random factor plays a predominant role in the process of spatial distribution of the population. In particular, according to the widely used Poisson model, events involving the emergence of new (and the disappearance of old) settlements on disjoint sites and time intervals are independent of each other, and the probability of two or more such events at one site is extremely small (the corresponding random variable is distributed according to Poisson's law). The purpose of this article is to familiarize the reader with the basic traditional principles of this approach, with the features of its methodology, current limits and possible new horizons for probabilistic modeling of historical settlement systems. To do this, our paper examines two studies, foreign and domestic, devoted to modeling the systems of historical settlement of different eras. In particular, it is pointed to the critical dependence of the approach, presented in these studies, on the scale and uniformity of the conditions of the territory under consideration. The way out of this situation is presented to the author of this paper by involving new types of data from historical sources for modeling, revising and rejecting unnecessary assumptions about the specific nature of the settlement process.

Аннотация: Предметом исследования является разработка математико-статистического подхода к задаче оценивания численности генуэзского средневекового населения Византии. Источником данных являются нотариальные акты о торговых товариществах, наймах судов, завещаний, купли и продажи домов, товаров и людей, составленные в генуэзской колонии Константинополя в конце XIII века. Формуляр акта имеет довольно однородную структуру. Помимо обязательного упоминания в тексте имен договаривающихся сторон и свидетелей сделки, он также может в зависимости от ее типа содержать имена опекунов, получателей завещания и других третьих лиц. Таким образом, эти данные по клиентеле генуэзских нотариев представляют из себя довольно внушительный и ценный массив информации, который может косвенным образом свидетельствовать о численности всей торговой генуэзской общины Византии. В основе предложенного подхода лежит построенная формализованная модель, описывающая поведение купцов при посещении и заключении сделки у нотария. Это позволяет перейти естественным образом от исходной к статистической задаче оценивания размера конечной совокупности и использовать для ее расчета аппарат данной математической теории. В этом случае автор применяет подход, связанный с использованием функции максимального правдоподобия, что является новизной. Полученная при этом формула позволяет с определенной долей вероятности оценить искомую численность генуэзского населения. Интересно, что эта оценка в целом совпадает с результатом А.Л. Пономарева, полученным ранее для той же задачи с применением эмпирического закона Ципфа.

Abstract: The author develops a mathematical-statistical approach to the problem of estimating the size of Genoese medieval population in Byzantium. The data source is notarial acts covering commercial partnerships, freightage, wills, purchase and sale of houses, goods and people drawn up in the Genoese colony of Constantinople at the end of the 13th century. The will form has a fairly uniform structure. In addition to the mandatory record of names of the contracting parties and witnesses of the transaction, it may also register names of the third parties. Thus, these data on the clientele of Genoese notaries represent a dataset which may indirectly indicate the size of the entire trading Genoese community of Byzantium. This approach is based on a constructed formalized model that describes the behavior of merchants when visiting and concluding a transaction attested by a notary. This makes it possible to pass in a natural way from the initial to the statistical problem of estimating the size of a finite aggregate and use this mathematical theory for its calculation. In this case, the author applies the approach associated with the use of the maximum likelihood function that is a novelty. The resulting formula allows (with a certain degree of probability) one to estimate the required size of the Genoese population. It is interesting that this estimate, on the whole, coincides with the result of A.L. Ponomarev obtained earlier for the same problem using Zipf's empirical law.

Аннотация: Предметом исследования настоящей статьи является математическое моделирование процесса пространственного расселения средневекового сельского населения. В силу неоднородности свойств территории размещение на ней населения не является равномерным. Наряду с системой обычных, рядовых населенных пунктов модель рассматривает систему обслуживающих их центров. В качестве таковых выступают населенные пункты, сосредоточившие на себе функции обслуживания всего окружающего населения (например, пункты сбора дани или церковно-приходские центры). Предположение модели заключается в том, что и размещение системы центров не является равномерным. Целью разрабатываемой модели является описание закономерностей такой системы расселения. Для решения поставленной цели развивается новаторский вариационный подход, суть которого
заключается в рассмотрении процесса исторического расселения как саморазвивающейся системы, характеризующейся своими параметрами и целями. Использование в рамках этого подхода математических методов вариационного исчисления позволяют находить параметры сложившихся систем размещения центров и количественно описывать имеющие в них место явления, что является актуальным. Апробация предложенной модели проводится на данных одной сельской поселенческой структуры конца XV-начала XVI веков (Деревская пятина Новгородской земли). Высокая степень соответствия полученных теоретических результатов эмпирическим данным позволяет считать математическое моделирование адекватным и удобным вспомогательным средством изучения процесса исторического расселения.

Abstract: The research subject of this article is the mathematical modeling of the process of spatial settlement among medieval rural populations. Due to the heterogeneous features of land in different regions, the distribution of populations is not uniform. Along with the system of ordinary settlements, the presented model examines the system of the centers serving them. As such, there are settlements that have concentrated on themselves the functions of serving the entire surrounding population (for example, tribute collection centers or parish centers). The model assumes that the distribution of the system of centers is not uniform. The aim of the developed model is to describe the laws of such settlement systems. In order to achieve this goal, an innovative variational approach is developed, the essence of whichconsists in considering the process of historical settlement as a self-developing system, characterized by its parameters and needs. The use of the mathematical methods of variation calculations within the framework of this approach allowed the author to find the parameters of the existing systems for establishing centers and to quantitatively describe the relevant phenomena occurring within them. The testing of the proposed model is carried out on the basis of one rural settlement structure from the late 15th - early 16th centuries (Derevskaya Pyatina on the territory of Novgorod). A high degree of correspondence in the obtained theoretical results from empirical data allows the author to consider mathematical modeling as an adequate and convenient auxiliary tool for studying the process of historical settlement.

Аннотация: Математическое моделирование находит все большее применение при изучении пространственного размещения населения, что обусловлено необходимостью исследования динамики численности и плотности населения, реконструкции недостающих данных, выявлении факторов расселения и оценки их влияния на этот процесс. Предметом настоящего исследования является разработка модели системы размещения центров (поселенческой структуры) одноуровневой иерархии. Целью такого моделирования является выявление основных факторов и оценка их влияния на процесс; установление соотношений между оптимальными параметрами, характеризующими систему размещения центров. Разработанная автором модель основана на новаторском подходе С.М. Гусейн-Заде, позволяющим описывать закономерности в размещении населенных пунктов и других центров на территориях в условиях их неоднородности. Использование в рамках этого подхода методов вариационного исчисления и понятия оптимальности Парето позволяет находить параметры сложившихся систем размещения центров и количественно описывать имеющие в них место явлений. Апробация предложенной модели, проводившаяся на конкретном примере средневекового сельского расселения, показала ее адекватность и корректность. С высокой долей вероятности было показано, что в основе процесса свободного расселения лежали два взаимно уравновешивающих фактора: центростремительный (концентрация поселений вокруг своих центров) и центробежный (размещение населения максимально близко к обрабатываемым участкам).

Abstract: Mathematical modeling is increasingly popular to study spatial distribution of population. This trend is determined by the necessity to study the dynamics of population quantity and density, reconstruct lacking data, search for population displacement factors and evaluate their influence on this process. The current study develops the model describing the system of centers distribution (the settlement structure) of the one-level hierarchy. Such a modeling aims at searching for basic factors and evaluating their influence on the process, associating optimum parameters which characterize the system of centers distribution. The model developed by the author is based on the innovative approach of S.M. Gusein-Zade which makes it possible to describe the regularities in the location (distribution) of heterogeneous settlements and other centers on the territories. The variations calculus methods applied as well as the concept of Pareto optimality allows one to find parameters of the existing systems of centers location and quantitatively describe the phenomena occurring in them. The model has been tested to study a medieval rural settlement and has proven adequate and correct.
It has been demonstrated that the process of free population displacement was caused by two counterbalancing factors: a centripetal one (concentration of settlements around their centers) and a centrifugal one (displacement of population near the farmland).

Аннотация: Предметом исследования является формализованная классификация сохранившихся списков средневекового произведения «Закон Судный людем», которое является древнейшим переводным памятником славянского права и одним из самых древних текстов на славянском языке. Для решения задачи текстологической классификации автором была предложена модель, опирающаяся на естественные предположения относительно процесса копирования списков и разработан метод, базирующийся на идее применения теории нечетких множеств. Преимущество нечеткого подхода заключается в построении стеммы списков с заданным уровнем надежности, учитывающей возможную контаминацию списков. Предложенный метод основан на формализованном анализе матрицы нечеткого отношения предпочтения, сформированной в результате попарного сличения текстов списков. Для количественной оценки вклада отдельных разночтений была разработана типологизация разночтений и развит метод косвенной экспертизы. Настоящая статья описывает первый опыт применения метода нечеткой генеалогической классификации к крупной рукописной традиции (57 списков, около 6500 разночтений). Полученные результаты в целом не противоречат результатам традиционного текстологического анализа и иных формализованных методов и позволяют уточнить группировку отдельных списков и их взаимосвязи. Разработанный подход является универсальным и может быть применен для классификации других рукописных текстов.

Abstract: The subject of this study is the formalized classification of the surviving copies of the medieval Slavic text "Zakon Sudnyj Ljudem", which is the oldest transferred monument of Slavic law and one of the earliest texts in the Slavic language. To resolve the difficulty of textological classification, the authors propose a model based on natural assumptions regarding the process of copying texts and have developed a method using the idea of applying the fuzzy set theory. The advantage of the fuzzy approach is the building of a stemma of the existing copies with their given level of reliability, taking into account their possible contamination. The proposed method is based on a formalized analysis of the fuzzy relation preference matrix, formulated as a result of a pairwise textual comparison of copies. To quantify the contribution of every reading discrepancy, a typology of readings was created, as well as an indirect estimation method was developed. This article describes the first experiment of applying the fuzzy genealogical classification method to a large manuscript tradition (57 copies, about 6500 readings). The obtained results as a whole do not contradict the results of the traditional textological analysis or other formalized methods and allow us to specify the grouping of copies and their interrelations. The developed approach is universal and can be applied to the classification of other manuscript texts.

Аннотация: Авторы демонстрируют возможности и обсуждают перспективы нового программного приложения для редактирования текстов, имеющих общее происхождение и сохраняющих общую структуру. Это приложение разработано авторами с целью интеграции с программой нечеткой генеалогической классификации. Объектом этого исследования являются тексты средневековых произведений, имеющих длительную историю бытования и сохранившихся в большом количестве вариантов. Целью настоящего исследования является выявление среди вариантов текста не обнаруживаемых экспертами неявных связей с последующей экспертной оценкой их значимости. Суть предложенного подхода состоит в адаптации и развитии аппарата теории нечетких множеств, что позволяет с заданной степенью надежности выделять из сохранившихся вариантов текста близкородственные группы и устанавливать между ними генеалого-преемственные связи. Предлагаемая классификация опирается не только на количественные данные (число разночтений, коэффициенты близости текстов списков), но и на качественные параметры (весовые коэффициенты разночтений), учитывающие уровень их значимости для текстологической классификации, что ранее в формализованных подходах не принималось во внимание. Успешная реализация данного программного приложения предоставит в руки исследователю мощный и удобный инструмент для массового сопоставления и анализа средневековых текстов с помощью алгоритмизированных математических методов.

Abstract: The authors demonstrate opportunities and discuss prospects of a new text editing software application of similar origin and general structure. This application is developed to be integrated within a program of fuzzy genealogical classification. The research focus is medieval texts which have long been in use and have been preserved in many variants. The study aims at searching links between different variants of texts that are hidden to experts and their presentation for further expert evaluation. Such an approach adapts and develops fuzzy sets theory means and thus lets us single out close groups within the variants preserved and genealogically link them to any reliability degree desired. The classification proposed bases not only on quantitative data (number of variant readings, texts proximity coefficients), but qualitative parameters as well (weight coefficients of variant readings) accounting for their importance for textological classification that has been ignored in formalized approaches before. Successful work of this software application is sure to provide a researcher with a powerful and handy tool to compare and analyze numerous medieval texts with the help of algorithm based mathematical methods.

Аннотация: Рассматривается задача генеалогической классификации сохранившихся списков средневекового произведения. Для ее решения предлагается подход, основанный на применении теории нечетких множеств. В данном подходе используется матрица нечеткого отношения предпочтения, основанная на попарном сравнении списков друг с другом. Каждый элемент данной матрицы есть сумма слагаемых, значения которых определяются конечным набором разновеликих факторов (типов разночтений). Данные факторы учитываются в общей сумме в виде весовых коэффициентов, определяемых экспертным путем. Чтобы устранить неизбежную субъективность в их оценке, авторами настоящей работы развивается косвенный метод экспертизы. Суть предлагаемого метода заключается в том, что данные факторы попарно сравниваются по значимости друг с другом. Таким образом, исходная сложная задача заменяется на совокупность более простых. При этом эксперты оперируют не количественными, а качественными оценками. Предложенный новый подход экспертной оценки позволяет формальным образом оценить значимость того или иного разночтения в тексте. Таким образом, применение предложенного метода играет ключевую роль в нечеткой классификации списков средневекового произведения (построении генеалогической стеммы). Использование рассматриваемого метода иллюстрируется на конкретном примере типологизации разночтений.

Abstract: The article examines the issue of the genealogical classification preserved in the copies of Medieval texts. For its understanding the authors propose an approach based on the use of the theory of fuzzy sets. This approach utilizes the matrix of the fuzzy preference relation, which is founded on the pairwise comparison of the lists with each other. Each element of this matrix is the summation of its components, whose value is determined by the end set of different value factors (types of lection). These factors are considered in their total sum in the form of weight coefficients, which are determined through expert means. In order to eliminate the unavoidable subjectivity in evaluating them, the authors of this work developed an indirect method of expertise. The aim of the proposed method lies in that the given factors are compared pairwise in their value with each other. This way the initial complex problem is substituted by the entirety of more simple ones. Meanwhile the experts operate not with quantitative, but qualitative evaluations. The proposed new approach of expert evaluation allows in a formal way to assess the value of one or another discrepancy in the text. Thus the use of the proposed method plays a key role in the fuzzy classification of the list of Medieval compositions (establishing a genealogical stemming). The use of the examined method is illustrated on a specific example of discrepancy typology.