Методы и средства развития вычислительного мышления при обучении дисциплине "Численные методы"

Введение

Одним из базовых курсов при подготовке специалистов по направлению 02.03.01 «Математика и компьютерные науки» является дисциплина «Численные методы», обеспечивающая связь теоретической математики и программирования.

Отбору и формированию содержания курса «Численные методы» для студентов вузов посвящены труды многих российских ученых. В первую очередь это: Самарский А.А., Марчук Г.И., Тихонов А.Н., Бахвалов Н.С., Калиткин Н.Н., Годунов С.К., Воеводин В.В., Гельфанд И.М., Дородницын А.А., Березин И.С., Белоцерковский О.М., Жидков Н.П., Яненко Н.Н., Фадеев Д.К., Фадеева В.Н. и др. Учебники этих авторов многократно переиздаются и являются фундаментальной основой при разработке учебных программ по дисциплине «Численные методы». Однако в них не затрагиваются вопросы практической реализации численных методов с использованием современных компьютерных технологий.

С появлением компьютеров главной особенностью обучения численным методам стало использование специализированных математических пакетов и систем программирования для решения прикладных задач. Современные численные методы в совокупности с возможностью их автоматизации при использовании персональных компьютеров превратились в рабочий инструмент для решения задач научного, технического, экономического и др. характера. В печати стали появляться издания с примерами конкретных алгоритмов и текстов программ с краткими предварительными сведениями по теории используемых методов, ориентированные на среду разработки. Эти издания чаще всего проигрывают в математическом обосновании идей и применимости численных методов, но помогают студентам при разработке собственных программ на одном из языков программирования. Учебники такого плана в большинстве своем являются переводными, но есть среди них и русские авторы: Мудров А.Е, Турчак Л.И., Плотников П.В., Зализняк В.Е. и др.

Основной задачей при обучении курсу «Численные методы» в современных условиях является задача обучить студентов не столько основным численным методам решения классических задач математики и математической физики, сколько сформировать у них навыки и умения построения и реализации алгоритма решения профильных задач с помощью компьютерных технологий. Это возможно лишь при достаточно высоком уровне развития вычислительного мышления обучаемых.

В диссертационных исследованиях Беленковой И.В., Беликова В.В., Кузнецовой И.А., Пальчиковой H.H., Рябухиной Е.А., Рябых A.B., Степановой Т.А., Сушенцова А.А., Федченко Г.М. и др. предложены различные методики обучения студентов численным методам. Однако в упомянутых работах не рассматривается взаимосвязь уровня знаний по численным методам и уровнем развития вычислительного мышления обучаемых. Тем не менее, именно от уровня развития вычислительного мышления зависит и мотивация к обучению численным методам, и необходимое время для изучения и понимания материала курса и другие психологические и личностные факторы студента. В этой связи представляет интерес поиск новых подходов и дидактических приемов организации и проведения учебного процесса по курсу «Численные методы», нацеленных на развитие вычислительного мышления студентов-математиков.

Вычислительное мышление

Анализ подходов к понятию «вычислительное мышление» ^[2] и основ информационного подхода к обучению ^[3] позволил определить вычислительное мышление, как когнитивный мыслительный процесс решения задач, который включает в себя:

- формулировку проблемы таким образом, чтобы ее решение основывалось на использовании компьютера (К);

- логическую организацию и анализ данных (Д);

- представление данных с помощью абстракций (АБ);

- автоматизацию данных на основе алгоритмического мышления (АЛ);

- обобщение, выявление и использование шаблонов (ОБ).

Таким образом, для развития вычислительного мышления требуется формировать у студентов следующие способности:

- Способность к логической организации и анализу данных. Использование вычислительных технологий для сбора, создания и анализа данных. Умение управлять, делать выводы из полученных данных, визуализировать данные.

- Способность мыслить абстрактно. Умение мыслить на разных уровнях абстракции и легко переходить с одного на другой при разработке программы. Определение общих характеристик во множестве объектов и игнорирование несущественных различий между ними. Выражение этих характеристик в виде математического понятия либо описания объекта при программировании. Умение для описания конкретного решения выбрать соответствующий уровень абстракции языка. Создание единого набора инструкций для манипулирования объектами разных типов, в котором различия в способах воздействия на разные объекты определяются нижними уровнями абстракции.

- Способность мыслить алгоритмически. Умениеоблечь абстрактную идею в последовательность шагов, необходимых для её практической реализации.

- Способность к компьютерной реализации решения проблемы. Реализация алгоритмов численных методов на языке высокого уровня или с использованием математических пакетов.

- Способность обобщать и выявлять шаблоны при решении задач. То есть умение переходить на более высокую ступень абстракции путем выявления общих признаков предметов рассматриваемой области, в общем случае переходя в процессе обобщения по цепочке: единичное понятие – обобщенное понятие – суждение – закон – теория.

Возникает вопрос, какие методы (процессы) и средства (инструменты) необходимо использовать для организации обучения численным методам, нацеленного на развитие вычислительного мышления?

Методы и средства организации учебной деятельности

Традиционные методы организации учебной деятельности, определяющие «знаниевый» подход, направлены на формирование теоретического мышления. Они определяют последовательность изложения материала от «простого» к «сложному», на основе чего осуществляются все основные операции мышления, такие как индукция, дедукция, анализ, синтез, обобщение. Однако, этих методов недостаточно для развития вычислительного мышления.

Поэтому кроме традиционных в качестве основных методов организации учебной деятельности по дисциплине «Численные методы» нами использованы метод системной динамики и динамической визуализации. Кроме традиционных средств обучения (учебные пособия, программное обеспечение для разработки численных методов, электронные тренажеры) в исследовании выделены ментальные карты и электронный курс по дисциплине «Численные методы». На рисунке 1 представлена схема применения предложенных методов и средств при обучении численным методам. Основным отличием этих методов и средств является их нацеленность на формирование и развитие вычислительного мышления.

Рис. 1 – Методы и средства обучения численным методам

Системная динамика – это метод построения и изучения поведения сложных систем с течением времени в зависимости от структуры этой системы и взаимодействия ее элементов. Ряд исследователей ^[4] отмечают, что это способствует развитию чувственной памяти, интуитивному стилю мышления и формированию ментальных схем, отражающих алгоритмические действия.

Технология визуализации – процесс представления данных в виде изображений, обеспечивающий максимальное удобство для понимания и придания зримой формы любому мыслительному объекту, субъекту, процессу и т.д. С точки зрения Вербицкого А.А. ^[1] метод визуализации «способствует формированию профессионального мышления за счет систематизации, концентрации и выделения наиболее значимых, существенных элементов содержания обучения».

Ментальные карты и анимация с позиций информационного подхода являются наиболее эффективным средством визуализации информации. Они позволяют сформировать образы абстрактных математических понятий, повысить степень запоминания схем вычислений на интуитивном уровне, представить целостную картину применения численных методов в профессиональной деятельности.

Обучение студентов-математиков численным методам осуществляется с использованием электронного курса, реализованного на открытой платформе Moodle. Для теоретической подготовки студентов используется элемент курса «Лекция», центральным элементом которого являются ментальные карты (рис. 2), которые позволяют преподавателю в визуальной форме структурировать информацию, наглядно в сжатом виде изложить суть и содержание лекции, определить основные понятия, сформулировать постановку задачи и методы ее решения, установить связь с раннее изученными методами.

Рис. 2 – Пример фрагмента ментальной карты при изучении численных методов

Для понимания работы численных методов на языке JavaScript реализованы элементы динамической визуализации, позволяющие продемонстрировать работу численных методов. Использование ментальных карт и динамической визуализации повышает качество понимания студентами абстрактных понятий, развивает их абстрактное мышление и понимание алгоритмов численных методов.

Практическая подготовка студентов по дисциплине «Численные методы» направлена на разработку алгоритмов численных методов с использованием языков программирования или математических пакетов по желанию студента. Умение строить тестовые задачи, анализировать их устойчивость, сходимость, оценивать полученные результаты работы программы существенно сокращает сроки выполнения лабораторных работ. При реализации численного метода студент рассматривает задачу с точки зрения трех уровней абстракции: постановка математической задачи, численный метод решения и программная реализация. Написание программы в виде отдельных логических модулей позволяет студенту сводить решение к более простым для выполнения задачам или к ранее решенным, обобщать методы для решения широкого класса задач с учетом возможности расширяемости.

Выводы

Проведенный в Сибирском федеральном университете педагогический эксперимент показал, что предложенные методы и средства, существенно влияют на развитие выделенных элементов вычислительного мышления студентов, а, следовательно, и на успешность обучения курсу «Численные методы»