Расчет коэффициента теплопроводности снежного покрова

Галкин Александр Фёдорович ORCID: 0000-0002-5924-876X доктор технических наук профессор, главный научный сотрудник Института мерзлотоведения им. П.И.Мельникова СО РАН 677010, Россия, г. Якутск, ул. Мерзлотная, 36, ИМЗ СО РАН. Лаборатория геотермии криолитозоны Galkin Aleksandr Doctor of Technical Science Professor, Chief Researcher of the Melnikov Permafrost Institute SB RAS 677010, Russia, Yakutsk, ul. Merzlotnaya, 36, IMZ SO RAN. Laboratoriya geotermii kriolitozony afgalkin@yandex.ru Другие публикации этого автора

Плотников Николай Афанасьевич ORCID: 0000-0001-6013-931X аспирант, лаборатория геотермии криолитозоны , Институт мерзлотоведения им.П.И.Мельникова СО РАН 677010, Россия, республика Саха(Якутия), г. Якутск, ул. Мерзлотная, 36 Plotnikov Nikolay Afanasievich Melnikov Permafrost Institute SB RAS 677010, Russia, Republic of Sakha(Yakutia), Yakutsk, Permafrost str., 36 plotnikov-nikolay96@mail.ru

Введение. Снежный покров играет важную роль в формировании температурного режима деятельного слоя гелиотермозоны ^[1,2,3,4,5]. Управление тепловым режимом деятельного слоя грунта с помощью снега, так называемая «снежная мелиорация» широко применяется в различных областях промышленности и сельского хозяйства ^{[6,7,8,9,10,11]}. Например: при строительстве зимников и переправ через реки в сезонном дорожном строительстве на Севере и обеспечении их надежной эксплуатации; для сохранения горных полигонов от глубокого промерзания пород при открытой разработке россыпных месторождений; при восстановлении нарушенных термокарстом сельскохозяйственных земель криолитозоны; для обеспечения плодородия почвы за счет снижения зимнего промерзания и эффективного весеннего увлажнения. Хотя, в более узкой трактовке этого термина, принятой в сельском хозяйстве, под снежной мелиорацией обычно понимают «управление водно-тепловым режимом деятельного слоя грунта с целью улучшения его характеристик и обеспечения необходимых функций путем воздействия на снежный покров» ^[2,6]. В конечном итоге, суть снежной мелиорации заключается в оптимальном управлении термическим сопротивление снежного покрова, которое достигается, в зависимости от цели проведения снежной мелиорации, либо накоплением, либо трамбованием снега на определенном участке поверхности земли или инженерного объекта. Важность точного определения термического сопротивления снежного покрова для устойчивости грунтовых оснований подробно описана в работах ^{[11,12,13,14]}. Авторы отмечают, что основная сложность в расчетах термического сопротивления снежного покрова заключается в широком диапазоне изменения коэффициента теплопроводности снега, который существенно зависит от таких непостоянных климатических характеристик, как оттепели и заморозки, ветровая нагрузка, солнечная радиация, суточные колебания температуры и т.п. Это вызывает «пространственно-временную изменчивость термического сопротивления снежного покрова», которую исследовали авторы работ ^{[16,17,18,19]} для ряда районов Красноярского края и Республики Коми. В этих же работах оценено влияние текстуры снежного покрова и слоев глубинной изморози на термическое сопротивление (на примере Западного Шпицбергена и Подмосковья). Показано, что без учета стратиграфии снежного покрова значение термического сопротивления может быть в полтора раза ниже реального. При этом большинство исследователей комплексным показателем всех воздействий на снежный покров считают среднюю плотность снега за рассматриваемый период существования снежного покрова, отдельно выделяя периоды таяния.

Целью настоящей работы было получение простых формул для расчета коэффициента теплопроводности снежного покрова при определении его термического сопротивления.

Метод. Для достижения цели используем обобщенную формулу Н.И.Осокина ^[16],

полученную путем обобщения данных и функциональных зависимостей, которые были приведены в открытых литературных источниках (по информации авторов указанной работы ими использовано при анализе более двадцати имеющихся расчетных формул). Формула имеет следующий вид

+ 2,905 ,

которую представим в более удобной, на наш взгляд, форме

здесь λ,k - коэффициент теплопроводности снега, Вм/ мК; ρ – средняя плотность снега, кг/м³.

Диапазон изменения средней плотности снега, т.е. диапазон применения формулы, составляет от 200 до 400 кг/м³. Плотность снега обычно считается средней по толщине снежного покрова. Обратим внимание, что не только в данной работе, но и во многих работах-первоисточниках используются коэффициенты регрессионной зависимости при аппроксимации экспериментальных данных с точностью до третьего знака. При этом авторы забывают, что в действительности, третьим знаком после запятой, является первый знак в уравнении (1), т.к. значение коэффициента теплопроводности снега определяется до второго знака после запятой. Поэтому без потери точности можно ограничиться только первым знаком в коэффициентах параболы и записать формулу, приведенную в работе ^[16] в следующем простом и удобном для запоминания виде

Иногда, для оценочных расчетов удобно пользоваться линейными функциями, поэтому формулу (1) разобьем на два интервала по плотности снега (200 - 300) и (300 - 400), кг/м³. Линеаризация параболической функции в данных пределах приводит к следующим линейным соотношениям для определения коэффициента теплопроводности снежного покрова

Ошибку вычисления коэффициента теплопроводности по приближенным формулам (2) - (4), по сравнению с основной базовой формулой (1), определим из известного соотношения ^[20,21]

Здесь k_f - коэффициент теплопроводности, определенный по одной из формул (2), (3) или (4), соответственно.

Результаты и обсуждение. Для наглядности все количественные результаты, полученные при вариантных расчетах по предлагаемым формулам, представлены в виде графиков на рисунках 1-3. На рис. 1 показано сравнение значений коэффициента теплопроводности, вычисленных по формулам (1) и (2).

Рис. 1. Значение коэффициента теплопроводности снега в зависимости от его плотности: 1- вычисленные по формуле (1); 2 - вычисленные по формуле (2).

Как видно из графиков на рисунке, кривые, практически, сливаются. То есть разность в расчетах, учитывая, что коэффициент теплопроводности снега определяется с точностью до второго знака, незначительна. Действительно, если рассмотрим крайнюю точку на графике, где плотность снега (400 кг/м³) максимальна и соответствует визуально максимальному расхождению кривых, то получим следующие значения коэффициент теплопроводности: по базовой формуле (кривая 1) - 0,4039 Вт/мК; по предлагаемой формуле (кривая 2) – 0,41 Вт/мК. Разность составляет 0,0061 Вт/мК или 1,5%. На всех остальных участках шкалы плотности эти значения будут еще меньше. Таким образом, становится очевидным, что использование предлагаемой формулы (2) в расчетах является целесообразным с инженерной точки зрения. Более того, такая формула легка для запоминания студентами и специалистами и не требует обращений к первоисточникам. Формула отличается от известных зависимостей своей компактностью и простотой. В дальнейшем будем данную формулу называть «модифицированной формулой Н.И.Осокина».

На рисунке 2 приведены графики сравнения базовой формулы (1) с линейными формулами для двух характерных диапазонов изменения плотности снега: А) - (200-300) кг/м³ и Б) - (300-400) кг/м³.

А) Б)

Рис.2. Значения коэффициента теплопроводности снега в зависимости от его плотности:

1- вычисленные по формуле (1);

2 - вычисленные по формуле А) - (3) и Б) - (4).

Из графиков видно, что в этом случае расхождение линий (1) и (2) более значительно. Однако степень их расхождения визуально не очень велика. Обычно линеаризация считается успешной, если ошибка в расчетах по базовой и линеаризованной функциями не превышает значений, допустимой в инженерной практике, что обычно составляет%. На рис. 3 приведены кривые, характеризующие процентные ошибки вычисления значений коэффициента теплопроводности по предлагаемым формулам по сравнению со значениями, определенными по базовой формуле. Рисунок также подтверждает целесообразность разбиения шкалы плотности на два характерных участка линеаризации. Без разбиения на два участка ошибки вычисления по линейным зависимостям могут быть значительными и превышать кратно допустимую в инженерной практике ошибку вычисления проектных величин (кривые 1 и 2 на рис. 3).

Рис. 3. Процентная ошибка вычисления коэффициента теплоотдачи по сравнению с базовой формулой (1): 1 – при вычислении по формуле (2); 2 – при вычислении по формуле (3); 3 – при вычислении по формуле (4).

В то же время при линеаризации базовой функции на двух отдельных участках, максимальная ошибка не превышает 4,5%. Области изменения ошибки от линеаризации базовой параболической функции выделены желтым и голубым цветом на рисунке. Зеленым цветом выделена область ошибки, возникающей от замены дробных коэффициентов в уравнении (1) целыми значениями и представления уравнения для определения коэффициента теплопроводности снежного покрова в виде формулы (2). Анализ показывает, что максимальная ошибка не превышает 1,5%. Это является основанием для рекомендации использования формулы Н.И.Осокина в предлагаемом виде для практических целей.

Заключение. Исследовано влияние точности задания коэффициентов в параболической функции для определения коэффициента теплопроводности снега в зависимости от его плотности. Показано, что замена дробных коэффициентов целыми значениями приводит к значительному упрощению вида функциональной зависимости без потери точности получаемого результата. Предложена модифицированная формула Н.И.Осокина, которая легка для запоминания и оперативных оценок влияния плотности снега на коэффициенты теплопроводности и термического сопротивления снежного покрова. На основе линеаризации базовой функциональной зависимости были также получены простые линейные формулы для определения коэффициента теплопроводности в зависимости от плотности снега для двух характерных диапазонов плотности (200-300) и (300-400) кг/м³. Определены процентные ошибки в расчетах коэффициента теплопроводности снега, которые возможны при упрощении коэффициентов и линеаризации базовой параболической зависимости коэффициента теплопроводности от плотности снежного покрова. Установлена, что возникающие при линеаризации базовой функции ошибки не превышают 4,5%, что является вполне допустимым в инженерных расчетах. Расхождение результатов расчетов по базовой и упрощенной формуле (с округленными до целых значений первого порядка коэффициентами) не превышают 2,3% во всем рассмотренном диапазоне изменения плотности снега. Результаты численных расчетов представлены в виде графиков, которые позволяют наглядно оценить влияние упрощения расчетной формулы и ее линеаризации на точность определения коэффициента теплопроводности снежного покрова. Статья имеет не только научное, но и прикладное методическое значение и будет полезна студентам и аспирантам, обучающимся по направлению 1.6.7. «Инженерная геология, мерзлотоведение и грунтоведение». Дальнейшие исследования в данной области должны быть направлены на исследование влияния точности определения средней плотности снега на расчет термического сопротивления снежного покрова.