Эквивалентное термическое сопротивление дорожной одежды

Введение.

Проектирование и строительство автомобильных дорог в криолитозоне сопряжено с рядом трудностей, которые определяются как геокриологическими и климатическими условиями эксплуатации, так и сложностью собственно прогноза теплового режима дорожных одежд и оснований. Это вызвано, не только существенным изменением теплофизических и прочностных свойств мерзлых грунтов в течение годового цикла ^[1,2,3], но и отсутствием универсальных методов предотвращения воздейсвия негативных криогенных процессов на дорожное полотно в период эксплуатации ^[4,5,6]. Многие авторы отмечают, что такие криогенные процессы как наледеобразование, пучение, морозобойное растрескивание дорожных одежд и оснований являются определяющими процессами, резко снижающими периоды безремонтной эксплуатации дорог, а, зачастую, приводят и к аварийным ситуациям ^{[7,8,9,10,11]}. Поэтому важно, уже на стадии проектирования, определить степень возможного воздействия негативного криогенеза на дорожные одежды и основания и разработать превентивные меры по минимизации его влияния на надежность эксплуатации дорог в различных климатических и геокриологических зонах. Одной из важных теплофизических характеристик, определяющих интенсивность протекания тепловых процессов в конструктивных слоях дорожных одежд и оснований, является термическое сопротивление дорожной одежды ^[12,13,14]. Многие тепловые расчеты для обоснования технических решений при проектировании автомобильных дорог в криолитозоне, базируются на определении и выборе заданного термического сопротивления конструктивных слоев дорожной одежды ^[14,15]. Этот показатель определяет, например, такие важные при проектировании дорог проектные характеристики как глубина оттаивания, и скорость промерзания дорожного основания. Зачастую, именно эти характеристики, наряду с физико-механическими свойствами грунтов и материалов, используемых в дорожных одеждах, определяют эффективность использования технических решений на практике, которые обеспечивают необходимый уровень надежности и безопасности эксплуатации автомобильных дорог в криолитозоне. При численном решении тепловых задач с граничными условиями третьего рода, к которым относятся задачи по прогнозу теплового режима дорожных одежд и оснований в криолитозоне, одним из приемов, позволяющим упростить решение, является замена слоистой конструкции дорожной одежды однородной, с эквивалентным термическим сопротивлением. Такой подход позволяет более просто и эффективно построить расчетную сеточную область, учитывая несопоставимость геометрических характеристик дорожной одежды и зоны теплового влияния дороги. Длительность расчетов при этом, особенно при вариантных исследованиях, или поиске оптимальных расчетных параметров, существенно уменьшается. Целью настоящих исследований являлась оценка целесообразности использования при моделировании тепловых процессов эквивалентного термического сопротивления и определение ошибки в расчетах, которую мы допускаем, заменяя слоистую конструкцию дорожной одежды эквивалентной однородной конструкцией.

Метод расчета.

Используя классические подходы к определению понятия термического сопротивления слоистой плоской одномерной конструкции ^[16,17], расчетные формулы для нахождения значения термического сопротивления «R» дорожной одежды, толщиной «δо», состоящей из «n» слоев материалов толщиной «δi» с различным коэффициентом теплопроводности «λi», можно записать в следующем виде. Для разнородной слоистой конструкции

(1)

Для эквивалентной однослойной конструкции со средним значением коэффициента теплопроводности

(2)

Коэффициент теплопроводности строительного материала обычно определяется экспериментально или может быть определен расчетным путем с использованием известных зависимостей ^[18,19,20], которые, как показал количественный анализ, выполненный в работе ^[21], дают близкие результаты, достаточные для практических целей.

Допустим, что конструкция дорожной одежды состоит из слоев равной толщины, но из разных материалов, т.е. Тогда параметр «R2/R1» определяется, используя уравнения (1) и (2), по формуле

= (3)

Особенностью данного выражения является то, что оно не зависит от толщины отдельных слоев и всего суммарного слоя дорожной одежды, а только от количества слоев и коэффициента теплопроводности материалов, используемых в дорожной одежде.Рассмотрим, для примера, простую трехслойную конструкцию дорожной одежды из слоев равной толщины. В этом случае выражение (3) преобразуется к виду

(4)

Для двухслойной конструкции формула (3) будет выглядеть еще проще

(5)

Далее, в качестве примера, будем рассматривать наиболее типичную трехслойную конструкцию дорожной одежды. Введем параметры «k», и «m», которые определяют степень неравенства коэффициентов теплопроводности материалов отдельных слоев, т.е. и В этом случае формула (4) преобразуется к следующему виду

(6)

Относительная ошибка, которая возникает при замене многослойной конструкции эквивалентной однослойной, определяется из выражения

(7)

Умножая значение, полученное по формуле (7) на 100%, получим процентную относительную ошибку при расчете термического сопротивления дорожной одежды с использованием понятия эквивалентного слоя. Проверим справедливость выражений (6) и (7). Подставляя данное значение в выражение (6) и считая, что k = m =1 ( то есть конструкция состоит из однородного материала) получим, что параметр (R2/R1) = 1. То есть ошибка расчета термического сопротивления при использовании эквивалентного слоя для однородной конструкции, определенная по формуле (7), равна нулю. Что и требовалось доказать и следует из самой постановки задачи. В общем то, это было ясно из простых физических соображений и следует из постановки задачи. Ведь, значение «k=m=1» соответствует равенству коэффициентов теплопроводности первого, второго и третьего слоя дорожной одежды. Очевидно, что, разбивая однородный слой на три слоя равной толщины, никакой ошибки при расчетах термического сопротивления дорожной одежды не получим.

Результаты и обсуждение.

Для достижения цели, по приведенным выше формулам были проведены вариантные расчеты, результаты которых представлены в виде 3D и 2D графиков на рисунках 1-3. На рис.1 показано изменение процентной ошибки определения термического сопротивления в зависимости от значения параметров «k» и «m».

Рис.1. Процентная ошибка определения термического сопротивления в зависимости от значения параметров «k» и «m».

Как следует из рисунка, существует область, в которой ошибка минимальна. То есть, величина ошибки напрямую связана со степенью отклонения значений коэффициентов теплопроводности материалов отдельных слоев дорожной одежды друг от друга ( значений коэффициентов «m» и «k»). Чем больше они отличаются от единицы, тем больше ошибка. В рассмотренном диапазоне отклонений значений коэффициентов теплопроводности область ошибки менее 10% (обычно допускаемой в инженерной практике) не очень велика (выделена синим цветом на плоскости) и не превышает значений коэффициентов неравенства более двух. Более наглядно эта зависимость прослеживается на рис.2, где приведены кривые, характеризующие изменение процентной ошибки в зависимости от параметра «k» при различных значениях параметра «m».

Рис.2. Процентная относительная ошибка определения термического сопротивления в зависимости от значения параметра «k» при различных значениях параметра «m».

На рисунке явно видно, что существует нелинейная связь между ошибкой вычисления эквивалентного термического сопротивления и степенью неравенства коэффициентов теплопроводности отдельных слоев дорожной одежды. При этом существует четко выраженный минимум допускаемой ошибки. Для его нахождения необходимо исследовать функцию (7) на минимум, т.е. решить систему уравнений вида и, которое позволяет найти функциональную связь между коэффициентами «m» и «k», обеспечивающими условие Решение системы уравненияй не представляет сложности и приводит нас к выражению, которое показано на рисунке 2. То есть, минимум ошибки определяется функциональной зависимостью между параметрами «m» и «k» простого вида: m = k².

На рисунке 3 представлены кривые, характеризующая изменение ошибки, возникающая при определении термического сопротивления дорожной одежды, в зависимости от значения коэффициента неравенства теплофизических свойств «k» при различных значениях параметра «m» с выделенной цветом областью допустимой в инженерной практике ошибкой.

Рис.3. Область допустимой ошибки определения термического сопротивления в зависимости от значения параметра «k» при различных значениях параметра «m»: 1 – 2,5; 2 – 2,2; 3 – 2,0; 4 –1,5.

Зеленым, желтым и голубым цветом на рисунке обозначены области допустимых в инженерной практике ошибок вычисления искомой величины (e ≤ 10,0 %). Как видно из графиков, эта область существенно зависит от значения параметра «m» и для значений больше, чем «m» = 2,0, достаточна мала. А, при значениях «m» ≥ 2,3 такая область отсутствует во всем диапазоне изменения параметра «k».

Учитывая, что диапазон изменения теплофизических свойств строительных материалов, используемых в конструктивных слоях дорожных одежд, не очень велик (за исключением специальных теплозащитных слоев) имеет смысл определение предельных значений диапазона изменения коэффициента неравенства «k» при различных значениях параметра «m», которое требует отдельных исследований и в данной работе не рассматривается.

Заключение. Получены простые инженерные зависимости для определения ошибки, возникающей при расчете термического сопротивления дорожной одежды путем замены слоистой конструкции на эквивалентную однослойную со средним коэффициентом теплопроводности. Для наглядности использован пример расчета термического сопротивления трехслойной конструкции дорожной одежды. Введено понятие «коэффициентов неравенства теплопроводности» материалов конструктивных слоев дорожной одежды. Установлено, что для трехслойной конструкции дорожной одежды величина ошибки при расчете термического сопротивления напрямую связана со степенью отклонения значений коэффициента теплопроводности материалов отдельных слоев друг от друга. Причем, коэффициенты неравенства для отдельных слоев при определении допустимой области изменения ошибки расчетов, функционально связаны друг с другом. На основании исследования целевой функции ошибки вычисления показано, что минимальная ошибка при использовании в тепловых расчетах эквивалентного термического сопротивления для трехслойной дорожной одежды достигается при соотношении коэффициентов неравенства, определяемой по формуле m = k2. Результаты численных расчетов представлены в виде 3D и 2D графиков, которые позволяют наглядно оценить влияние диапазона изменения значений коэффициентов теплопроводности материалов конструктивных слоев на правомерность использования эквивалентной однослойной конструкции дорожной одежды при расчетах термического сопротивления. Статья может быть полезна как инженерам-проектировщикам дорожной отрасли, так и научным работникам в области инженерной геокриологии и строительства. В методическом плане статья может представлять интерес для аспирантов, обучающимся по различным специальностям направления 1.6. «Науки о Земле», а также студентам, обучающимся по специальности 08.02.05 «Строительство и эксплуатация автомобильных дорог и аэродромов». Дальнейшие исследования должны быть направлены на оценку влияния принятой теоретической модели для расчета термического сопротивления дорожной одежды на конечный результат теплового расчета проектных величин. Например, на расчетную глубину оттаивания или промерзания дорожного основания. Интерес представляет также оценка возникающей ошибки при проектировании дорожных одежд со специальным теплозащитным конструктивным слоем.