Расчет критерия Фурье при прогнозе теплового режима талых и мерзлых дисперсных пород

Введение.

Надежность и безопасность эксплуатации различных типов инженерных сооружений, как подземных, так и наземных, расположенных в криолитозоне, во многом зависят от теплового взаимодействия с окружающим грунтом или горными породами. Важной задачей инженерной геокриологии является прогноз теплового режима горных пород и управление им при строительстве и эксплуатации инженерных сооружений в криолитозоне. Данное направление исследований актуально как в России ^{[1, 2, 3]}, так и в других странах ^{[4, 5, 6]}, привлекая к себе широкое внимание научного и профессионального инженерного сообщества. Особую актуальность вопрос приобретает при взаимодействии сооружений с так называемыми дисперсными породами, структурная прочность которых существенно меняется при изменении температуры и фазовых переходов влаги ^{[7, 8, 9]}. Например, в работах ^{[10, 11, 12]} доказано, что устойчивость горных выработок, рудников и подземных тоннелей криолитозоны напрямую определяется тепловым режимом вмещающих пород. Взаимодействие магистральных газо- и нефтепроводов с мерзлыми грунтами ^[13] подчеркивают необходимость учета теплового фактора при выборе технических и технологических средств, обеспечивающих их безаварийную эксплуатацию. То есть прогнозирование и контроль степени теплового взаимодействия инженерных сооружений с дисперсными горными породами является актуальной задачей, решения которой весьма востребованы в инженерной практике. Например, в работах ^{[14, 15, 16]} установлено, что тепловой режим грунтовых оснований является определяющим фактором безопасной и надежной эксплуатации автомобильных дорог криолитозоны.

При прогнозировании теплового режима различных различных инженерных сооружений криолитозоны, взаимодействующих с дисперсными породами, возможны два варианта представления исходных данных и полученных результатов решения: явный вид с размерными единицами измерения и критериальный (безразмерный) вид. Второй подход более удобен, так как позволяет упростить решение теплофизических задач за счет сокращения числа переменных. Кроме того, он позволяет проводить более обобщенный анализ результатов, охватывающий широкий диапазон возможных изменений характеристических данных, определяющих тепловые процессы как в исследуемом объекте, так и в окружающих породах. Одним из основных критериев является число Фурье, которое определяет интенсивность и скорость тепловых процессов.

Особенностью теплофизических расчетов дисперсных пород с использованием числа Фурье является его зависимость от агрегатного состояния влаги в породах, так как теплофизические характеристики талых и мерзлых пород существенно различаются ^{[1, 3]}. Использование разных значений числа Фурье не очень удобно, так как обычно в тепловых расчетах учитываются годовые изменения температуры деятельного слоя грунта в конкретном сооружении. В этом случае целесообразно, но не всегда возможно, использовать универсальные числа Фурье. Универсальные числа Фурье основаны на усредненных тепловых характеристиках горных пород в талом и мерзлом состоянии. В то же время необходимо оценить погрешности, которые могут возникнуть при определении чисел Фурье для талых и мерзлых пород при замене их универсальными величинами.

Целью настоящей работы было определение диапазона изменения критерия Фурье при прогнозах теплового режима дисперсных пород в талом и мерзлом состоянии. А, также оценка возможности усреднения теплофизических характеристик пород для получения универсальных значений чисел Фурье для тепловых расчетов.

Метод расчета

Комплексная безразмерная переменная, которое называется число (критерий) Фурье, определяется по формуле ^[17]:

Здесь : λ – коэффициент теплопроводности пород , Вт/мК; ρ - плотность горных пород, кг/м³ ; с - удельная теплоемкость пород, кДж/кгК; τ – время, с. x0 – постоянная метрическая величина (может быть принята, равной 1,0м), м.

Поскольку мы рассматриваем породы в двух состояниях – талом и мерзлом, то теплофизические свойства их будут различны. Поэтому введен параметр «i» , который в дальнейшем будет обозначать «1» для талых пород и «2» для мерзлых пород. Если процессы теплообмена происходят в породах без фазовых превращений влаги, то число Фурье изменяется только во времени. В этом случае его еще иногда называют «безразмерное» или «относительное» время. Но, это, по мнению автора, не совсем корректно. Более приемлемым является следующая формулировка ^[18]: число Фурье это соотношение между скоростью изменения тепловых условий в окружающей среде и скоростью перестройки поля температуры внутри рассматриваемой системы (тела), которое зависит от размеров тела и коэффициента его температуропроводности.

Для наглядности проверим размерность числа Fo . Размерность числителя равна: [(Вт/м·К)*(с)] = [Дж/м·К]. Размерность знаменателя равна: [(м²)*(Дж/кг·К)*(кг/м3] = [Дж/м·К]. Размерность знаменателя идентична размерности числителя, т.е. само число Фурье размерности не имеет.

Поскольку для дисперсных пород физические свойства во многом определяются степенью их влажности (льдистости), то в общем случае в формулу (1) должны входить функциональные зависимости ρ(W) и С(W). Для примера рассмотрим песчаные породы. Для смеси кварцевого песка со льдом удельная теплоёмкость пород и объемная масса могут быть определены по следующим формулам.

Зависимость удельной теплоемкости породы в талом (i=1) и мёрзлом (i=2) состоянии можно записать в виде:

Здесь: 0,835 – удельная теплоемкость сухого песка, кДж/кг*К; 2,1 – удельная теплоемкость льда, кДж/кг*К; 4,2 – удельная теплоемкость воды, кДж/кг*К.

Зависимость объемной массы (плотности) от влажности (i=1) и льдистости (i=2) песка можно записать в виде:

Здесь: 2500 – объемная масса кварцевого песка, кг/м3; 900 – объемная масса льда, кг/м3; 1000 – объемная масса воды, кг/м³.

Коэффициент теплопроводности бинарной смеси может быть рассчитан по формуле В.И.Оделевского ^[19,20]. Принимая во внимание, что коэффициент теплопроводности воды равен 0,56 Вт/мК; коэффициент теплопроводности льда – 2,24 Вт/мК; коэффициент теплопроводности сухого песка принят равен 0,37 Вт/мК; коэффициент теплопроводности льда - 2,24 Вт/мК; коэффициент теплопроводности воды - 0,56 Вт/мК. Для талых и мерзлых пород коэффициент теплопроводности в зависимости от влажности (льдистости) определялся по формулам, полученным в ^[17]

Относительная ошибка в определении числа Фурье при усреднении характеристик дисперсной породы может быть определена по формуле

Здесь Fо3 - это число Фурье, полученное при усредненных свойствах дисперсной породы. Причем здесь надо оценить не только зависимость относительной ошибки от влажности (льдистости) дисперсной породы, но и максимальную ошибку, которая будет возникать. То есть числа Фурье в летний и зимний период должны быть рассчитаны при максимально возможной влажности (льдистости) дисперсных пород.

Результаты и обсуждение.

На графиках (рис. 1) представлены расчеты по формулам (4). Где также показаны значения отклонения значений коэффициента теплопроводности породы в талом λ1(W) и мерзлом λ2(W) состоянии между собой и средним значением коэффициента теплопроводности λ3(W), определенных по формулам: λ3(W) =(λ2(W) + λ1(W))/2 – кривая 3; Е1 =λ3(W) – λ1(W) – кривая 4; Е2 =λ3(W) – λ2(W) – кривая 5.

Рис. 1. Изменение коэффициента теплопроводности дисперсной породы в талом и мерзлом состоянии: 1 – в талом; 2 – в мерзлом; 3 – среднее значение; 4 – отклонение среднего значения от значения в талом состоянии; 5 - отклонение среднего значения от значения в мерзлом состоянии.

С достаточной для инженерных расчетов точностью выражение для среднего значения коэффициента теплопроводности может быть рассчитано по формуле: λ3(W) = 0,37 + 0,51W.

Интервал изменения чисел Фурье для зимнего и летнего периода в зависимости от льдистости (влажности) может быть определен по формуле (1) с использований расчетных данных таблицы.

Изменение свойств дисперсной породы от влажности (льдистости)

Таблица

При этом такой важный показатель, влияющий на абсолютное значение числа Фурье как время, выраженное в секундах, может быть найден по простой формуле τ =N*2,635*106, с. Здесь N - количество месяцев в рассматриваемый период.

На рис. 2 приведены результаты расчета чисел Фурье для мерзлых и талых дисперсных пород в зависимости от их льдистости ( влажности) в различные периоды времени.

Рис.2. Изменение числа Фурье ( Fo1 – талые породы; Fo2 – мерзлые породы ) в зависимости от влажности (льдистости) дисперсной породы (д.е.) при различной длительности протекания теплового процесса: 1 - один месяц: 2 - два месяца; 3 - пять месяцев.

Анализ графиков на рисунке позволяет сделать важный вывод: для талых дисперсных пород число Фурье с увеличением влажности уменьшается, а для мерзлых пород увеличивается. При этом темпы снижения и увеличения различны. Так, при увеличении влажности породы с 10 до 40% (изменение в четыре раза) число Фурье для мерзлых пород увеличивается всего в 1,1 раза. А, степень уменьшения числа Фурье для талых пород в этом же диапазоне составляет 1,8 , что почти в 1,6 раза больше степени увеличения числа Фурье для мерзлых пород.

Для наглядности сделанного вывода, на рис. 3 приведен 3D график диапазона изменения числа Фурье для талых и мерзлых пород в зависимости от их влажности льдистости в широком интервале изменения времени.

Рис. 3. Изменение числа Фурье в зависимости от влажности (льдистости) дисперсной породы при различной длительности протекания теплового процесса ( N – месяцы):

1 – мерзлые породы; 2 – талые породы.

Таки образом становится очевидным, что числа Фурье для тепловых процессов, протекающих в мерзлых и талых породах, отличаются не только количественно, но и качественно., что необходимо учитывать при решении конкретных задач по прогнозу и оценке формирования теплового режима различных объектов в криолитозоне.

На графике рис.4 приведены результаты расчетов по определению ошибки усреднения чисел Фурье для летнего и зимнего периода года в зависимости от влажности (льдистости) дисперсной породы. Которые в диапазоне изменения влажности (льдистости) породы от 10 до 40% могут быть описаны простой линейной функцией вида e = abs (0,08+w)*100, %.

Рис. 4. Ошибка в определении числа Фурье при усреднении значений теплофизических свойств в зависимости от влажности (льдистости) дисперсной породы:

1 – талые породы; 2 – мерзлые породы.

Как видно из графиков на рисунке, в характерном диапазоне изменения влажности (льдистости) дисперсных пород 10-40%, ошибки значительны как для талых, так и для мерзлых пород. Причем с увеличение влажности (льдистости) ошибка существенно возрастает и при максимальном влагосодержании (когда все поровое пространство заполнено влагой) достигает 48%. А, при 10% влажности составляет 18%, что почти в 2 раза выше предельно допустимой погрешности, допускаемой в инженерных расчетах. Выполненный качественный и количественный анализ показал, что использовать универсальные числа Фурье при тепловых расчетах дисперсных пород нецелесообразно, так как возникающие при этом ошибки существенны и не могут быть проигнорированы. Все тепловые расчеты должны быть разделены на три составляющие: расчет в талом состоянии; расчет в мерзлом состоянии; расчет в переходный период промерзания-оттаивания пород.

Заключение. В результате проведенных исследований установлено, что числа Фурье для тепловых процессов, протекающих в мерзлых и талых дисперсных породах, отличаются не только количественно, но и качественно. Это необходимо учитывать при решении конкретных задач по прогнозу и оценке формирования теплового режима дисперсных пород криолитозоны. Для талых дисперсных пород число Фурье с увеличением влажности уменьшается, а для мерзлых пород с увеличением льдистости увеличивается. При этом темпы снижения и увеличения различны. Так, при увеличении влажности породы с 10 до 40% (изменение в четыре раза) число Фурье для мерзлых пород увеличивается всего в 1,1 раза. А, степень уменьшения числа Фурье для талых пород в этом же диапазоне составляет 1,8 раза, что почти в 1,6 раза больше степени увеличения числа Фурье для мерзлых пород.

Использование универсальных чисел Фурье в характерном диапазоне изменения влажности (льдистости) дисперсных пород 10-40%, приводит к существенной ошибке, как для талых, так и мерзлых пород. Причем с увеличение влажности (льдистости) ошибка существенно возрастает и при максимальном влагосодержании (когда все поровое пространство заполнено влагой) достигает 48%. А, при 10% влажности составляет 18%, что почти в 2 раза выше предельно допустимой погрешности, допускаемой в инженерных расчетах. Использование универсальных чисел Фурье в тепловых расчетах при годовых колебаниях температуры является нецелесообразным. Правильным является разделение тепловых расчетов на три составляющие: расчет пород в талом состоянии; расчет пород в мерзлом состоянии; расчет в переходный период промерзания-оттаивания пород. С соответствующим расчетом чисел Фурье для каждого периода и агрегатного состояния влаги в дисперсных породах.

Статья будет полезна как инженерам, занимающихся проектированием технических объектов в криолитозоне, так и научным работникам в области строительной физики и геокриологии. В методическом плане статья будет интересна преподавателям и аспирантам, обучающимся по различным специальностям направления 1.6. «Науки о Земле» (специальность 1.6.7. «Инженерная геология, мерзлотоведение и грунтоведение»). и 2.1 «Технические науки», в частности – учебной специальности 08.02.05 «Строительство и эксплуатация автомобильных дорог и аэродромов». Дальнейшие исследования целесообразно направить на изучение влияния теплофизических свойств дисперсных пород на диапзон изменения основных критериев теплообмена, в частности на интервал изменения чисел Био и Стефана, с учетом их вариативности для талых и мерзлых пород.