Еще раз к вопросу об оценивании численности генуэзского купечества в Византии конца XIII века с помощью методов математической статистики

Шпирко Сергей Валерьевич кандидат физико-математических наук, кандидат исторических наук доцент, Российский Государственный Гуманитарный Университет, Историко-Архивный институт 119313, Россия, г. Москва, Ленинский проспект, 88, корп. 3 Shpirko Sergey Associate Professor, Moscow State Historical Archives Institute, Russian State University for the Humanities 119313, Russia, g. Moscow, ul. Leninskii Prospekt, 88 korpus 3, kv. 122 shpirkos@mail.ru Другие публикации этого автора

I. Введение

Возможно ли применять методы и идеи математических наук к задаче восполнения данных исторических источников? В частности, такой вопрос ставит А.Л. Пономарев в своих исследованиях, связанных с установлением приблизительной численности генуэзского купечества в Константинополе конца XIII века.

В историографии хорошо известно, что, начиная c заключения в 1261 году Нимфейского договора, генуэзцы развили бурную коммерческую деятельность в византийских владениях, о чем свидетельствуют многочисленные договора о торговых товариществах, наймах судов, завещаний, купли и продажи домов, товаров и людей. Однако о численности их торговой общины исторические источники не сохранили прямых свидетельств. А.Л. Пономарев предлагает использовать для этой цели данные косвенных источников, а именно многочисленные нотариальные акты, хранящиеся в Государственном архиве Генуи. К ним, в частности, относятся 149 актов нотария Габриэле де Предоно, составленные в Пере (центре генуэзской общины Константинополя и второй по значимости после Каффы колонии генуэзцев в византийских владениях) за период с июня по октябрь 1281 года и опубликованные румынским ученым Г. Брэтиану в 1927 году ^[1].

Все акты составлены в соответствии с четким протоколом, содержат помимо всего прочего имена контрагентов, свидетелей, а также третьих лиц, причастных к коммерческой сделке. При этом, одно и то же лицо могло быть указано в нескольких актах. Например, в одном договоре оно выступает в роли контрагента, в другом – в роли свидетеля, в третьем– в роли покупателя раба. Конечно, акты Предоно не содержат имена всех членов генуэзской торговой общины Перы. Купцы могли заключать сделки и у других нотариев. Например, только в Каффе (правда, в десятых годах XV века) трудилось как минимум 14 нотариев ^{[2, c. 8]}. Мелкие сделки могли вообще не регистрироваться. Однако, если исходить из гипотезы о случайности выбора купцом того или иного нотария для фиксации сделки, то данные Предоно могут служить “мгновенным снимком”, позволяющим решить искомую задачу оценивания всей численности.

Итак, задачей нашего моделирования является оценка объема генеральной совокупности по имеющейся выборке. Причем, в основе данного моделирования лежит представление о процессе составления нотарием акта и упоминания в нем отдельных персоналий как выборе соответствующих элементов из генеральной (общей) совокупности. Поскольку одни и те же персоналии могут упоминаться в нескольких актах, то такой процесс является выбором с возвращением.

В предыдущей работе мы исследовали распределение числа различных элементов, попавших в выборку, как случайной величины. Если все элементы совокупности имеют равные шансы при очередном испытании попасть в выборку (случайность выборки), то формула совместной вероятности этой величины хорошо известна. При этом, данная функция зависит от оцениваемой величины объема совокупности как от своего параметра. Подставляя в формулу реальные данные и максимизируя ее по этому параметру, мы получаем наиболее “правдоподобную” оценку для оцениваемой величины ^[3].

В настоящей работе мы отталкиваемся от данных по частотам упоминаний персоналий в актах. А для решения задачи оценивания объема всей совокупности привлекается интенсивно развивающийся с середины 1960-х годов подход в математической статистике, связанный со случайными размещениями. В соответствии с данным подходом, мы будем оперировать с набором статистик, представляющими из себя как раз частоты встречаемости наблюдаемых элементов выборки. С помощью этих статистик мы построим линейную оценку, которая оказывается несмещенной для оцениваемой величины общего числа клиентов-купцов.

II. Задача оценивания

Обозначим через n – объем выборки, а через N – объем всей совокупности, который нам предстоит оценить. Поскольку выборка извлечена из совокупности по схеме случайного выбора с возвращением, в ней могут быть повторяющиеся элементы. Обозначим через μ_r число наблюдавшихся элементов, каждый из которых повторился ровно r раз, r=1,..,n.

Наша задача состоит в том, что использовать информацию, заключенную в наборе статистик (μ₁, μ₂,..,μ_n), для оценивания неизвестной величины N. Нетрудно проверить, что все эти статистики связаны соотношением μ₁+ 2 μ₂ +3 μ₃ +..+ n μ_n =n. Поэтому одна из статистик может быть выражена через все остальные. С учетом этого замечания, ограничимся в дальнейшем рассмотрением укороченного набора (μ₂,..,μ_n).

Следуя логике ^[4], будем искать решение в классе линейных несмещенных оценок, причем оценивать будем не N, а обратную ей величину 1/N. То есть, искомая оценка является линейной комбинацией статистик (μ₂,..,μ_n), а ее математическое ожидание должно в точности совпадать с 1/N:

В формуле (1) через Σ обозначена операция суммирования по индексу r, пробегающему значения от 2 до n, а в (2) через E – математическое ожидание (среднее значение) случайной величины .

Необходимо указать на отличие настоящего подхода от того, который был продемонстрирован нами ранее. Если в ^[3] искомая величина N определяется из принципа максимального правдоподобия, то есть из формулы для наиболее вероятного ее значения (моды), то в настоящей статье мы оперируем в терминах математического ожидания.

Мода, как и математическое ожидание, являются важными характеристиками случайной величины. В общем случае (когда распределение несимметрично) они не совпадают друг с другом, что демонстрируется на рис.1, где величина математического ожидания будет смещена относительно моды (влево):

Рис. 1 Мода и мат.ожидание дискретной случайной величины (обозначены буквами М и E соответственно)

Таким образом, привлечение этих двух подходов позволяет независимым образом уточнить диапазон возможных значений искомой величины.

Как видно из формул (1)-(2), для вычисления коэффициентов l_r необходимо найти математическое ожидание случайных величин μ_r, r =2,..,n. Изящный вывод формулы для E μ_r приводится в ^[5]. Для начала, перейдем от исходного выбора с возвращением к эквивалентной схеме равновероятного размещения, в которой n частиц независимо друг от друга размещаются по N ячейкам.

Обозначим через θ_ir индикатор, принимающий единичное значение, если ровно r частиц попали в i-ю ячейку, и ноль – в противном случае. В этом случае статистику μ_r можно представить в виде суммы соответствующих индикаторов:

Тогда, с учетом независимости индикаторов друг от друга получаем

где через P(θ_ir = 1) обозначена вероятность того, что соответствующий индикатор примет единичное значение.

Если вероятность попадания одной частицы в фиксированную ячейку равна 1/N, то r частиц попадут в нее с вероятностью (1/N)^r. Отсюда нетрудно заключить, что вероятность попадания n-r частиц в оставшиеся N-1 ячеек составит ((N-1)/N)^n-r=(1-1/N)^n-r.

Количество всевозможных способов выбора r частиц из n известно и определяется формулой числа сочетаний

Отсюда, применяя теорему о сложении вероятностей, приходим к формуле для математического ожидания случайных величин μ_r:

Тогда, с учетом (1), формула (2) для оценки представляется в следующем виде:

Умножим обе части получившегося уравнения на величину N. Сокращая в его левой части одинаковые множители, получаем

Применяя бином Ньютона (см. Приложение 1), находим из (3) формулу для коэффициентов оценки , впервые полученную в ^[4]:

Возвращаясь к (1), отсюда окончательно получаем

Полученная формула позволяет перейти к задаче оценивания численности по актам Предоно.

III. Численное моделирование

Предварительным этапом для моделирования численности является идентификация приводимых в актах имен. Проведение данной процедуры затрудняет то, что некоторые персоналии фигурируют под несколькими, пусть и довольно похожими, именами, как, например, Ogerius ^{[1, с.89]}, Ogerinus ^{[1, с.91]}. Более того, одно и то же лицо может выступать в актах и в разных ролях. Так, тот же Ogerius в одних договорах комменды выступает в качестве трактатора (accomendatarius, то есть партнера, получающего средства от коммендатора для ведения торговли в установленном месте), в других договорах – в роли свидетеля, а в актах завещания – в роли получателя по завещанию. В таких случаях лишь дополнительное указание профессии или должности (например, placerius peliparius) позволяет идентифицировать их как одно лицо ^[6].

Всего в актах было идентифицировано 447 персоналий, которые были упомянуты 866 раз (сюда включены и женщины). В то же время, рабы, как объекты сделок купли/продажи, в рассмотрение не брались. Ниже приведен график частот упоминания отдельных персоналий, упорядоченный по неубыванию:

Рис. 2 Ранжированный ряд упоминаний персоналий в актах Предоно 1281 года

Так, первому рангу (максимальная частота – 68 упоминаний) соответствует одно лицо – нотарий Guglielmo Gandulfi, почти постоянно привлекавшийся в качестве свидетеля договора. Все остальные лица упоминаются существенно меньшее число раз. Так, ровно по одному разу (наибольший ранг) упоминаются 318 персон. Для большей наглядности соответствующие статистики приводятся в следующей таблице:

Таблица 1. Распределение числа персоналий по частоте упоминания

Примечание: μ_r – количество персоналий, упоминаемых ровно r раз.

Простое визуальное наблюдение частот упоминания не позволяет сделать вывод о случайности данных выборки, что подтверждается и рассмотрением критерия χ2 (хи-квадрат). Для обеспечения корректности процедуры оценивания в предыдущей нашей статье ^[3] предлагается перейти от исходной к рассмотрению усеченной выборки, в которой исключаются редкие данные, соответствующие высоким частотам встречаемости.

Так, если убрать из рассмотрения первые по частоте 10 персоналий (с частотами встречаемости от 68 до 9), то с уровнем значимости 0,1 данную выборку уже можно считать случайной. После удаления этих 10 элементов объем n выборки сокращается с 866 до 700, а число различных элементов i в ней становится равным соответственно 437 (вместо прежних 447). При этом, рассчитанное по формуле значение χ2 статистики равно 448,6857, что меньше соответствующего квантиля, равного 475,2005 ^{[7, с. 577]}. Все это позволяет перейти к оцениванию объема N генеральной совокупности.

Обращаясь к формуле (4), получаем N=439. Эта цифра ниже оценки на тех же данных, полученной в ^[3] (N=688). Отметим, что примерно такую же оценку для численности (N=645–650) дает подход А.Л. Пономарева, основанный на модификации эмпирического закона Ципфа ^[8,9]. Подобное расхождение (439 против 688 человек) требует дополнительного разбирательства.

IV. Сравнение результатов моделирования

Прежде всего, попробуем продвинуться в направлении дальнейшего усечения выборки. Так, после удаления из рассмотрения еще 15 персоналий (с частотами встречаемости от 8 до 6) объем выборки сокращается с 700 до 600, а число различных элементов i в ней уменьшается соответственно с 437 до 422. Применение первого подхода (из ^[3]) дает оценку в 823 человека, а второго (из настоящей статьи) – 660 человек. Результаты дальнейшего применения аналогичной процедуры удобно свести в следующую таблицу:

Таблица 2. Оценивание численности общины по распределению числа персоналий по частоте упоминания

Примечание: Через «метод I» обозначен метод из ^[3], а через «метод II» – из настоящей статьи. В данную таблицу включены также результаты моделирования А.Л. Пономарева из статей ^[8,9].

Анализ таблицы 2 показывает, что по мере усечения объема выборки оценки обоих методов (метод I и метод II) имеют тенденцию к увеличению и взаимному сближению своих значений, вплоть до пересечения соответствующих графиков, что удобно продемонстрировать на следующем рисунке:

Рис. 3 Оценивание численности всей общины согласно методам I и II

Что касается метода II, укажем на близость его результатов при объеме n выборки в 600 (при числе различных элементов i=422) с результатами А.Л. Пономарева (при числе различных элементов i=507).

В ситуации выбора между методом I и методом II полезным представляется сравнить результаты работы обоих методов на каких-либо простых и однозначных примерах, абстрагировавшись от конкретики решаемой задачи.

Пример 1. Пусть генеральная совокупность состоит из одного единственного элемента (N=1). Из нее выбором с возвращением извлекается этот элемент сто раз n (n=100). Понятно, что все элементы совпадают, и число различных элементов равняется единице (i=1). Рассмотрим результаты оценивания, которые будут давать оба метода. Напомним, что первый метод (метод I) основывается на максимизации функции правдоподобия

где через обозначено число сочетаний из N по i: _. Если подставить сюда конкретные значения i и n, то нетрудно подсчитать, что . Своего максимума эта функция достигает при минимальном значении N, равном единице, что совпадает с его истинным значением.

Теперь получим оценку для N согласно второму методу (метод II). В его терминах число элементов, повторившихся ровно r=n раз, равняется единице (μ_r=1). Подставляя эти значения в формулу (4), получаем

то есть и здесь приближенная оценка совпадает с истинной: N=1.

Пример 2. Немного усложним предыдущий пример. Пусть теперь генеральная совокупность состоит из десяти элементов (N=10). Из нее выбором с возвращением извлекается по одному элементу, как и ранее, 100 раз (n=100). При этом, в сформированной выборке присутствуют все эти десять элементов, причем, в равном количестве. В наших терминах это равносильно i=10, r=10 и μ_r=10.

Нетрудно проверить, что применение метода с максимизацией функции правдоподобия (метод I) дает точную оценку N=10. Подставим теперь конкретные значения в формулу (4) для второго метода:

откуда мы получаем приближенную оценку для N=11.

Итак, можно констатировать, что второй метод в некоторых случаях (причем, довольно простых) дает менее точные оценки, чем первый метод. Данный факт можно объяснить, на наш взгляд, тем, что во втором методе оценивается не сама величина N, а обратная к ней . В случае, когда достаточна мала, обращаемая величина ведет себя очень не устойчиво из-за ошибок округления. По-видимому, такое происходит и в нашем конкретном случае.

Для демонстрации этого утверждения вернемся опять к случаю, когда из исходной выборки изъяты первые десять элементов по частоте встречаемости (n=700, i=437). Подстановка конкретных значений в формулу (4) для дает значение, равное 0,002329859. Для оценивания величины N нам нужно, естественно, обратить последнюю величину, получив значение 429.

Насколько неустойчива эта оценка можно судить по тому, что если округлить значение с точностью до одной тысячной (до 0,002), то обратное ей значение будет равняться 500 (вместо 429). То есть, ничтожно малое изменение приводит к изменению оцениваемой величины на десятки единиц.

Резюмируя вышесказанное, можно сказать, что к применению второго метода надо относиться с осторожностью, и в данном конкретном случае отдать предпочтение оценке, получаемой первым методом, то есть оценивать численность купеческой общины Перы конца XIII в. приблизительно в 688 человек. В то же время, второй метод, апробированный в данной статье, может быть полезным для подобных исследований на другой источниковой базе.

Приложение 1.

Для нахождения коэффициентов l_r из уравнения (3) воспользуемся формулой бинома Ньютона:

где a и b – произвольные, а l, m – натуральные числа.

Положим

Учитывая, что в этом случае a+b=1, бином Ньютона переписывается в виде:

Далее, в последней формуле сделаем замену переменной суммирования: r = l+2. Таким образом, при начальном значении l=0 новая переменная r=2, а при конечном значении l=n-2 переменная r=n. С учетом этого, бином Ньютона окончательно преобразуется как

Приравняем теперь данную формулу и формулу (3), имеем

Очевидно, что данное равенство выполняется только в том случае, когда равны в правой и левой его частях все соответствующие слагаемые, то есть

Таким образом, приходим к формуле для коэффициентов