Проблема несоизмеримости и кризис оснований древнегреческой математики

Кирьянов Денис Александрович ORCID: 0000-0001-8502-8333 магистр, Балтийский государственный технический университет ВОЕНМЕХ имени Д. Ф. Устинова 190005, Россия, г. Санкт-Петербург, ул. 1-Я красноармейская, 1 Kiryanov Denis Aleksandrovich Master's Degree, Department of Information Systems and Software Engineering, Baltic State Technical University "Voenmeh" anmed after D. F. Ustinov 190005, Russia, Saint Petersburg, 1st Krasnoarmeyskaya str., 1 dennis.kiryanov@gmail.com Другие публикации этого автора

Систематические исследования античной греческой математики начались на рубеже XIX и XX веков и опирались, в основном, на технический и концептуальный анализ древнегреческих рукописей, в основном, «Начал» Евклида. Используя современную математику, исследователи проанализировали античные тексты и отделили их математическое содержание от формы выражения.

В наши дни история математики предстает как развитие взаимосвязанных математических концепций и утверждений, а рост математических знаний заключается в нашем растущем понимании сети этих концептуальных отношений. Таким образом, лучшее понимание математики позволяет пролить свет на действительное содержание древних математических текстов, игнорируя их неудобный язык выражения, объясняя исходные проблемы на более подходящем математическом языке нашего времени.

В данном исследовании мы рассмотрим проблему несоизмеримости и кризис оснований древнегреческой математики. Но, прежде чем перейти к самому рассмотрению, нам хотелось бы раскрыть значения самих терминов «несоизмеримость», «основание», «кризис оснований», чтобы яснее представлять, о чем пойдет речь далее.

Термин «несоизмеримый» (англ. incommensurable) означает «не имеющий общей меры». Применительно к древнегреческой математике несоизмеримость обозначает отсутствие единой меры между величинами. Например, нет единой меры между длиной стороны и диагональю квадрата, так как это отношение выражается иррациональным числом ^[1].

Считается, что популяризации термина «несоизмеримость» мир обязан двум влиятельным философам: Томасу Куну (Thomas Kuhn) и Полу Фейерабенду (Paul Feyerabend). Начиная с 1962 года, идея несоизмеримости научных теорий была широко обсуждаема и сыграла важную роль в философии и социологии науки ^[1].

Основания математики (англ. foundations of mathematics), представляют собой учения о логических и философских основах математики, включая вопрос о том, обеспечивают ли аксиомы данной системы ее полноту и непротиворечивость ^[2].

Кризис оснований математики – это прежде всего кризис онтологии, сутью которого является неспособность описать объекты, факт бытия или становления которых выходит за рамки привычных представлений о мире ^[3].

Считают, что на греческую науку огромное влияние оказали более древние цивилизации Египта и Месопотамии. Обнаруженные документы египетского и месопотамского происхождения указывали на то, что такие научные дисциплины, как медицина и математика возникли там, по крайней мере, на тысячу лет раньше самых ранних греческих записей этих исследований ^{[4, c. 7]}.

Большое влияние на развитие древнегреческой математики оказал Пифагор, который наиболее известен нам по одноименной теореме. Однако, считается, что практическое применение данной теоремы, которое заключалось в построении прямых углов, было известно древним вавилонянам задолго до Пифагора. Скорее всего, Пифагор всего лишь распространил данную технику в Греции ^{[6, c. 32]}.

Пифагор был основателем пифагорейской философской школы. Музыка, гармония и числа были неразрывно связаны друг с другом в учении пифагорейцев ^{[5, c. 132]}. В основе их учения лежало представление о господствующем начале, для обозначения которого они использовали различные символы, в том числе и математические ^[7].

В своем стремлении описать мир через математику пифагорейцы доходили до того, что подстраивали его под свою числовую концепцию. Вот как это выглядело, согласно Аристотелю: “И все, что они могли в числах и гармонических сочетаниях показать согласующегося с состояниями и частями мира и со всем мировым устройством, это они сводили вместе и приспособляли (одно к другому); и, если у них где-нибудь того или иного нехватало, они стремились (добавить это так), чтобы все построение находилось у них в сплошной связи. Так, например, ввиду того что десятка (декада), как им представляется, есть нечто совершенное и вместила в себе всю природу чисел, то и несущихся по небу тел они считают десять, а так как видимых тел только девять, поэтому на десятом месте они помещают противоземлю” ^{[8, c. 27]}.

Согласно концепции Арпада Сабо (Árpád Szabó), пифагорейская теория чисел развивалась из философии элеатов, которая позволяла применять дедуктивный подход к геометрии ^[9]. Древние греки оперировали целыми положительными числами, и теория чисел представляла собой учение о натуральных числах ^{[5, c.151]}.

В теории чисел пифагорейцы развивали учение о четном и нечетном, которое Аристотель в «Метафизике» описывает следующим образом: “число принимается за начало и в качестве материи для вещей и в качестве их состояний и свойств, а элементами числа они считают чет и нечет, из коих первый является неопределенным, а второй определенным; единое состоит у них из того и другого, — оно является и четным и нечетным, число образуется из единого, а различные числа, как было сказано – это вся вселенная” ^{[8, c. 27]}.

Пифагорейцам также приписывают систематическое построение теории числовых отношений и делимости целых чисел. Но, как пишет Ван Дер Варден, “в официальной греческой математике до Архимеда дроби не встречаются… основанием для изгнания дробей из теории была теоретическая неделимость единицы” ^{[5, с. 161]}. Математическим эквивалентом, использовавшимся для замены понятия дробного числа служило числовое отношение, пропорция.

Пифагорейцы знали как минимум 4 вида пропорций ^{[4, c. 21]}:

· арифметическая: ;

· геометрическая: ;

· гармоническая: ;

· музыкальная:

Они полагали, что отношения материальных тел подобны отношениям чисел и использовали числа для количественного измерения соотношения материальных тел, т. к. такие измерения требовались в хозяйственной деятельности ^[10].

Математику древних греков часто называют «геометрической алгеброй», вкладывая в это понятие простейшие алгебраические теоремы, сформулированные и доказанные на языке геометрии ^[11]. По мнению Чарльза Зингера (Charles Singer), привычка пифагорейцев наделять числа характером и качествами связана с тем, что в то время математика для греков, по сути, являлась геометрией ^{[4, c. 20]}. Румынский философ Сабетай Унгуру (Sabetai Unguru) также считает, что это просто геометрия, а не геометрическая алгебра, так как, по его мнению, в древнегреческой математике нет уравнений и формул ^[12].

Геометрическая алгебра у древних греков находит широкое применение, например, они решали квадратные уравнения при помощи приложения площадей, а задачу извлечения квадратного корня решали при помощи теоремы Пифагора ^{[5, с. 171]}.

Начавшись из числовой мистики Пифагора, учение пифагорейцев со временем приняло строго научный характер, разработав теорию делимости и пропорциональности чисел, выработав подход к определению площади круга, развив вавилонскую алгебру в геометрическую алгебру, значительно продвинувшись в развитии стереометрии.

Одной из самых главных проблем, с которой столкнулись пифагорейцы, явилась проблема иррациональности, обнаруженная в связи с несоизмеримостью диагонали квадрата с его стороной. Оказалось, что для таких элементарных геометрических объектов, как диагональ и сторона одного и того же квадрата, не существует меры, то есть нет измеряющего их числа. Подобный арифметический вывод практически опрокидывал пифагорейскую философскую систему представлений о Сущем ^[13].

Открытие несоизмеримости – одно из самых удивительных и далеко идущих достижений ранней греческой математики. Данное открытие было сделано в то время, когда греческая математическая наука была еще в зачаточном состоянии и занималась самыми элементарными или, как считают многие современные математики, были склонны говорить о самых тривиальных задачах. К тому времени, как показали недавние открытия, египтяне и вавилоняне уже разработали очень высокоразвитые и сложные методы решения математических задач более высокого порядка, но даже не подозревали о существовании подобной проблемы.

Для вавилонян каждый отрезок и каждая площадь были просто числом. Если они не могли точно извлечь квадратный корень, то спокойно удовлетворялись его приближением. Но для греков имело значение точное знание, а не допустимое приближенное значение ^{[5, c. 175]}.

Курт фон Фриц (Kurt Von Fritz) приписывает открытие иррациональности пифагорейцу Гиппасу из Метапонта ^[14]. При этом он считает, что это открытие базировалось на двух достижениях.

В качестве первого достижения, подтолкнувшего древних греков к открытию иррациональности, Курт фон Фриц считает формулу, которая позволяет образовывать любое количество различных рациональных прямоугольных треугольников путем нахождения пар чисел, сумма квадратов которых равна квадратному числу. Эту формулу приписывают лично Пифагору. Данную формулу (1) можно выразить следующим образом ^[14]:

(1)

где m – нечетное число.

Если интерпретировать важность этой формулы с точки зрения пифагорейской философии, то получится, что форма фигур, подобных в математическом смысле этого слова, напрямую связана с определенным набором целых чисел. Два треугольника со сторонами 3, 4, 5 и 8, 15, 17 похожи друг на друга, так как имеют прямой угол. Это сходство не связано с одним определенным набором целых чисел и не выражается в нем, но связано с тем фактом, что два набора целых чисел, относящиеся к двум треугольникам, входят в одну и ту же математическую формулу.

Теория многоугольных (фигурных) чисел, по мнению Курта фон Фрица, была вторым основополагающим достижением пифагорейцев. Подобно их другим геометрическим теориям, она предназначена для определения взаимоотношениями между числами и геометрическими фигурами. Но в этом случае фигуры не нарисованы и образованы прямыми линиями определенных пропорциональных размеров, а построены из точек ^[14].

Теория многоугольных чисел пифагорейцев была предназначена для того, чтобы дать ответ на вопрос: из какого числа точек, расположенных в определенном порядке, могут быть построены различные многоугольники. Пифагорейцы оперировали плоскими многоугольными числами, частным случаем которых являются треугольные и прямоугольные числа.

Пример, иллюстрирующий треугольные и прямоугольные числа, приведен на рисунке 1 ^{[4, с. 20]}.

Рисунок 1 – Треугольные и квадратные числа

Как видно из рисунка 1, пифагорейцы оперировали последовательностями вида:

Такие последовательности представляют собой треугольные числа, представленные геометрически на рисунке 1, на котором так же геометрически проиллюстрировано интересное свойство, согласно которому сумма двух последовательных треугольных чисел равняется квадратному числу ^{[4, c. 20]}.

Все пифагорейские доктрины либо основаны, либо приводят к поиску чисел, то есть целых чисел, из которых могут быть построены геометрические фигуры с определенными свойствами. В ходе этих усилий, по мнению Курта фон Фрица, пифагорейцы вряд ли могли не задаться вопросом, какие числа могут быть скрыты в некоторых хорошо известных фигурах, не построенных таким образом, например, в равнобедренном прямоугольном треугольнике, который имел особое значение для пифагорейцев, потому что это была половина квадрата.

Однако, в случае равнобедренного прямоугольного треугольника соотношение сторон невозможно выразить целыми числами. И Курт фон Фриц связывает раннее развитие теории многоугольных чисел с попыткой преодолеть эту трудность путем построения многоугольников из точек, а не из прямых линий, так как разделение многоугольников и многоугольных чисел на треугольники и треугольные числа является одним из основных положений теории.

Древним грекам известен был тот факт, что многоугольное число можно разделить на два равных треугольных числа, в то время как многоугольное число состоит из двух неравных треугольных чисел, стороны которых отличаются на одну единицу ^[14].

Данный пример проиллюстрирован на рисунке 2.

Рисунок 2 – Деление многоугольных чисел, стороны которых отличаются на единицу

Как видно из рисунка 2, многоугольное число 1, геометрически представленное квадратом из точек размером 4х4, не делится пополам нацело. И это верно, так как, диагональ квадрата в данном случае есть число иррациональное: . С другой стороны, фигура 2, являющаяся прямоугольником 3х4, делится нацело.

В конце своего исследования ^[14] Курт фон Фриц полагает, что Гиппас исследовал пятиугольник, применяя все имеющиеся на тот момент знания греков о числах и геометрических объектах и обнаружил, что отношение длины кромки к диагонали не может быть представлено как часть целых чисел.

Для пифагорейцев все было числом, но этот результат исследования Гиппаса противоречил их убеждению в том, что мир может быть полностью описан целыми числами. Таким образом, Гиппас обнаружил явление иррациональных чисел в несоизмеримости маршрутов и два размера, которые пропорциональны так называемому «золотому соотношению» ^[13].

Выше было показано, как пифагорейцы столкнулись с проблемой несоизмеримости отрезков. Перейдя к рассмотрению кризиса оснований античной математики, можно проследить, как менялась математическая и философская мысль пифагорейцев под влиянием данной проблемы.

Одним из основных вопросов, остающихся актуальным и по сей день, является вопрос о том, насколько важным являлся кризис оснований для древних греков. Согласно мнению многих ученых, открытие несоизмеримых отрезков нанесло сильный удар по обожествлению пифагорейцами целого числа, так как поставило под сомнение важнейший пункт их философской доктрины «единица – начало всего». Оно нарушило имевшуюся гармонию между геометрией и арифметикой, что требовало не только пересмотра исходных принципов математики, но и оснований построенной ими философской модели мира ^[15].

Данная проблема несоизмеримости привела к кризису оснований греческой математики того времени. Для его преодоления греками был принят аксиоматический метод, под которым понимается такое построение научной дисциплины, когда ряд положений данной области науки принимается без доказательства (входящие в них понятия являются неопределяемыми), а все остальное знание выводится из этих предложений по заранее фиксированным логическим правилам или законам ^[16].

Алгебра и арифметика описывалась в основном в геометрических терминах, а геометрия была составлена как набор утверждений, полученных из определенных предположений и определений. Получившаяся система включала методы, которые, по-видимому, позволяли избежать наиболее неприятных из математических трудностей, связанных с иррациональностью и парадоксами ^[17].

Очень скоро пифагорейцы начали не только расширять теорию пропорций до несоизмеримых, но также установили критерий, по которому в некоторых случаях можно определить, имеют ли две пары несоизмеримых (которые в старом смысле вообще не имеют отношения) одинаковые отношения ^[14].

Кроме того, греческие математики разработали специальную процедуру работы с бесконечностью. Результаты должны были быть получены с помощью геометрических методов, которые использовали только так называемую потенциальную бесконечность, но греки были готовы использовать и актуальную бесконечность в качестве исследовательской эвристики ^[17].

Пифагорейцы готовы были признать, что при любом числе, каким бы большим оно ни было, всегда будет большее число, и что при любой прямой, какой бы длинной она ни была, ее всегда можно продолжить. Однако, они не были готовы принять концепцию бесконечного набора чисел или линию бесконечной величины, хотя концепция «потенциально» бесконечного была для них приемлемой ^{[18, c. 256]}.

В дальнейшем оказалось, что количественная трактовка бесконечности, введение ее в упорядоченный мир числовых отношений, смешивание понятий актуальной и потенциальной бесконечности и использование в практике работы с бесконечными величинами одних и тех же способов, что и с конечными, нередко приводило к ошибкам, заблуждениям и противоречиям. Такое положение дел осложняло выход из кризиса, в котором оказалась античная математика в связи с открытием несоизмеримых величин ^[15].

Третьим событием, появившимся из первого кризиса, было принятие математического дуализма, который поднимает два конкретных вопроса: достоверность математики как науки и надежность математики как технологии. Греческая мысль предлагала различные точки зрения на эти вопросы ^[17].

Для Платона математика населяла мир, независимый от восприятия, но существующий в реальном и вечном мире. Уверенность в математике как науке зиждется на истине, постигаемой тщательно сформулированным разумом. Устойчивость математики как технологии основывалась на определенном приближении математического разумным.

Для Аристотеля математические объекты не существовали; они представляли ментальные идеализации чувственного мира. Как и в случае с Платоном, надежность математики как технологии основывалась на некотором приближении, но достоверность математики основывалась на строгом понятии логической необходимости. Поэтому, «Начала» Евклида можно было читать с платоническим или аристотелевским толкованием.

Однако, наряду с теми учеными, которые считают существование кризиса оснований в древнегреческой математике бесспорным, существуют и те, которые опровергают или не совсем согласны с данной точкой зрения.

Так, например, Жмудь Л. Я. пишет ^{[19, c.206]}, что значение открытия иррациональности, по его мнению, многие склонны переоценивать, сравнивая его эффект на математику пифагорейцев с кризисом оснований в математике в конце XIX – начале XX вв. Он пишет, что “эта точка зрения давно уже оставлена, ибо свидетельства такого кризиса отсутствуют”. Также, Л. Жмудь считает, что не подтверждается идея о том, что открытие Гиппаса нанесло “смертельный удар по пифагорейской догме «все есть число»”.

Жмудь описывает свое мнение о том, что многие историки математики относят открытие иррациональности к более позднему времени (к концу V в. или даже к началу IV в. до н.э.) из-за важности самого открытия, несмотря на то, что все необходимые математические предпосылки этого открытия (теорема Пифагора, теория четных и нечетных чисел, метод доказательства от противного) имелись уже на рубеже VI-V вв. до н.э.

Вот как он это объясняет: “Нас не должно смущать то обстоятельство, что между Гиппасом и Феодором, продолжившим его исследования, прошло два поколения. Такой же или даже еще больший временной разрыв мы наблюдаем и во многих других случаях. Первые три пропорции открыл Пифагор, следующие три были найдены Евдоксом, родившимся на 180 лет позже. Так же обстоит дело и с двумя способами нахождения пифагоровых троек: первый из них был найден Пифагором, второй - Архитом.” ^{[19, c.207]}.

Уилбур Нор (Wilbur Knorr) не так категоричен, как Л. Жмудь. По его мнению, открытие иррациональности явилось неявным вызовом, брошенным пифагорейской космологии и философии. Он согласен с тем, что на представление пифагорейцев о мире серьезно повлияли математические открытия, в частности, упорядоченные движения небесных тел и приведение музыкального созвучия к простым числовым отношениям. Ссылаясь на Аристотеля, он пишет, что отправные точки пифагорейской школы превратились в принцип, согласно которому «элементы чисел являются элементами всех вещей». Следовательно, было бы странно обнаружить, что после открытия несоизмеримости пифагорейцы оставили бы последующие математические разработки в своей школе ^{[20, c.42]}.

Ведь учение о том, что «всё есть числа», в буквальном или переносном смысле, не только легло в основу более древней пифагорейской философии, но и оставалось ее определяющим принципом даже во времена Аристотеля и позже.

Поэтому, У. Нор предполагает, что некоторые доктрины и уточнения мысли среди более поздних пифагорейцев выросли из необходимости включения иррационального в рациональную натурфилософию. Но в области собственно математики фундаментальные проблемы несоизмеримости, если они вообще рассматривались, игнорировались ^{[20, с. 42]}.

С обнаружением проблемы несовместимости геометрия вступила в кризисную фазу, во время которой процедуры, общие для метрической геометрии, больше не допускались. Таким образом, как пишет У. Нор, в течение 80 лет (с 430 до 350 гг. до н. э.) геометрия была неспособна использовать эти базовые концепции и методы, дискредитированные фундаментальными доказательствами ^{[20, с. 40]}.

Гиппократ Хиосский и Архит Тарентский использовали те геометрические приемы идентичности пропорций и свойств плоских фигур. Путь к формальной реструктуризации геометрии, сохраненной в «Началах» Евклида, лежал в развитии самой теории несоизмеримых величин.

По мнению У. Нора, кризис оснований математики вынудил древнегреческих математиков выработать средства решения проблемы. В ответ на проблему несоизмеримости были разработаны различные методы аппроксимации, включая специальные последовательности для стороны и диаметра квадрата, а также для линий и отношения средних значений. Создание этих правил было тесно связано с арифметической процедурой сокращения членов соотношений, но возможность использования этой математической теории в качестве основы доказательства несоизмеримости не использовалась. Арифметическая работа по приближению была лишь дополнением к теоретическому изучению соизмеримости ^{[20, c. 45]}.

Можно по-разному рассматривать отношение греков к проблеме несоизмеримости и обнаружению иррациональности: одни ученые считают, что это ввергло древнегреческую математику в кризис оснований, другие считают, что кризиса не было, третьи благоразумно остаются где-то посередине.

Но все из упомянутых нами ученых согласны с тем, что обнаружение проблемы несоизмеримости вывело греческую математику на более высокий уровень, заложив основы современной науки, так как им пришлось искать выход из сложившегося кризиса, меняя свои математические методы и философию.

Кризис оснований действительно вызвал определенную теоретическую неопределенность математики пифагорейцев. Но, пытаясь преодолеть данную проблему, пифагорейские математики серьезно развили математический аппарат того времени, что нашло свое отображение в совершенствовании теории пропорций, представления бесконечности, которую стали представлять в виде числовой характеристики вещей и процессов.

Пифагорейцы активно развивают геометрическую алгебру, теорию бесконечности, применяют аксиомизацию и диалектику, заложили основы теории пределов, выдвинув теорию о возможности разложения объекта на бесконечно большое число бесконечно малых частей.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что проблема несоизмеримости и последовавший из нее кризис оснований не был «смертельным» для философии пифагорейцев. Как показывает данное исследование, пифагорейцы активно развивали свою философию, адаптируя ее к новой реальности, чему способствовало развитие математики и диалектики. Поиск выхода из кризиса оснований привел к созданию новых, сложных теорий в истории науки, культуре, архитектуре и искусстве.