Анализ функции победы по опыту стратегических операций Великой Отечественной войны

Шумов Владислав Вячеславович доктор технических наук ведущий научный сотрудник, Международный научно-исследовательский институт проблем управления 117312, Россия, г. Москва, Проспект 60-летия Октября, 9 Shumov Vladislav Doctor of Technical Science Leading Scientific Associate, International Research Institute For Advanced Systems 117312, Russia, g. Moscow, Prospekt 60-letiya Oktyabrya, 9 vshum59@yandex.ru Другие публикации этого автора

Введение

Первая модель боевых действий опубликована М.П. Осиповым в 1915 г. в журнале «Военный вестник» ^[1]. Пусть имеются две стороны, участвующие в боевых действиях. Обозначим через x(t) (y(t)) численность войск первой (второй) стороны в момент времени t > 0, численности в нулевой момент времени – x₀ и y₀ соответственно. Исключив из рассмотрения операционные потери (пропорциональные числен­ности своих войск) и ввод (вывод) резервов, получим следующую систему дифференциальных уравнений (модель боя М. Осипова, в англоязычной литературе известная как модель Ф. Ланчестера ^[2]):

, (1)

где a_x и a_y – коэффициенты поражающей скорострельности боевых единиц первой и второй стороны.

Аналитическим решением системы (1) является так называемая квадратичная модель боя:

(2)

(для борьбы с вдвое многочисленным противником нужно в четыре раза более мощное оружие, при трехкратном численном превосходстве – в девять раз более мощное и т.д.).

Кратко отметим вклад М.П. Осипова в теорию моделирования боевых действий.

1. Разработаны принципы моделирования боевых действий:

· неразрывная связь военной статистики, военного искусства и математического моделирования («военная история может дать исходные числа, а объяснение их относится к области математики»);

· более предпочтительны аналитические модели, основанные на тактических принципах и физических законах, чем статистические, основанные на «подгонке» результатов под ограниченный набор статистических данных. Аналитические модели в сравнении с эмпирическими более понятны и допускают расширения для учета новых факторов (ввод в бой резервов, операционные потери, возможности боевого обеспечения, искусство полководца, моральный фактор и др.);

· свидетельством «правильности» моделей является соответствие результатов моделирования принципам военного искусства («правило – бить врага по частям служит несомненным подтверждением основного положения нашей теории, что потери сильнейшего числом должны быть меньше, чем у слабейшего»);

· практическое предназначение моделей боя («теория потерь не отвергает никаких воинских уставов или правил, а наоборот, требует исполнения их, напоминая, что всякое упущение в этом отношении изменяет среднее, законное соотношение потерь в другое, клонящее в пользу противника, т.е. влечет за собою излишние потери у нас, которых можно было бы избежать. Единственная практическая цель теории потерь – это более сознательное управление численностью войск для уменьшения своих потерь и для увеличения потерь противника»).

2. Заложены основы теории боевых потенциалов:

· обосновано требование разделения списочного состава частей и соединений на боевой («активный») и обеспечивающий;

· оценен боевой потенциал активных боевых единиц, имеющих на вооружении винтовки (ружья), пулеметы и орудия (орудийный расчет эквивалентен 50–150 бойцам с ружьями);

· для оценки вклада различного оружия рекомендовано учитывать его количество и потери пехоты в результате применения этого оружия;

· показано, что вклад различных боевых единиц в исход боя не линеен;

· при расчете боевых потенциалов необходимо учитывать степень инженерного и других видов обеспечения.

3. Определены основные факторы, подлежащие учету в моделях боя:

· искусство полководца (заключается «в умении выставить на поле битвы и ввести в бой наибольшее число активных бойцов, поддержать их моральное настроение, в удачном маневрировании и вообще в умении пользоваться всякою случайностью»). На примере Аустерлицкого сражения показано, что вклад полководца (Наполеона) в победу эквивалентен увеличению боевой численности его стороны на 25–30%;

· моральное настроение войск. Моральный упадок войск заключается в увеличении доли бойцов, уклоняющихся от ведения боя. По М. Осипову, «победа зависит не от продолжительности боя, а главным образом от понесенных сторонами потерь; поэтому вернее будет считать, что бой длится до тех пор, пока потери одной из сторон не достигнут некоторого определенного %. Таким % в среднем можно считать 20%...»);

· качество («достоинство») оружия, воспитание, организация и обучение войска;

· местность, укрепления и образ действий.

Поскольку конфликт (конкурс, аукцион, бой) является одним из основных способов получения дохода, то им ставятся в соответствие функции конкурса или конфликта (Contest Functions и Conflict Functions) ^[3]. Функции конфликта отличаются от производственных функций ^[4] двумя особенностями. Во-первых, значениями функций конфликта являются вероятности победы, тогда как значения производственных функций – ожидаемый объем производства (детерминированный результат). Во-вторых, функции конфликта антагонистичны: рост усилий первой стороны увеличивает ее шансы на успех, так же как и снижение усилий второй стороны.

В общем случае функции конфликта (конкурса) подразделяются на (основание классификации – метод обоснования модели) ^[5]: стохастические (теоретико-вероятностные) модели; модели, построенные на основе аксиом (предположений); конкурсные и аукционные модели, полученные на основе дизайна экономических механизмов (mechanism design), модели на основе агрегирования микроэкономических показателей (подмоделей).

В настоящей статье представлен обзор наиболее известных функций конфликта и выполнена верификация функций на примере стратегических операций в годы Великой Отечественной войны. Стиль изложения материала ориентирован как на специалистов по исследованию операций, так и на специалистов в области военной науки и искусства.

• Функции победы в конфликте

Положим, что в конфликте (конкурсе, аукционе) участвуют две стороны. Их усилия (ресурсы) обозначим через x > 0 и y > 0, соответственно. Любой комбинации усилий сторон поставлены в соответствие вероятности успеха (победы) – p_x (x, y) и p_y (x, y). Достаточно хорошо исследованным является следующий класс функций победы:

, (3)

где f_x(×) и f_y(×) – неотрицательные, строго возрастающие функции. Отметим наиболее часто встречающиеся функциональные формы модели (3). Модель Г. Таллока

, (4)

где m > 0 – параметр решительности сторон, относится к классу моделей на основе отношения потенциалов (результат зависит от отношения усилий сторон). Модель Д. Макфаддена и Д. Хиршляйфена

(5)

относится к классу моделей на основе разности потенциалов.

Теоретико-вероятностное обоснование функций конфликта основано на анализе влияния неучитываемых факторов (случайных ошибок) на результат. Функции конфликта аксиоматизированы, в частности, Р. Люсом ^[6] и С. Скапердасом ^[7]. В основу аксиоматики положено свойство независимости от посторонних альтернатив (Independence of Irrelevant Alternatives property): исход конфликта зависит только от усилий двух сторон (участников) и не зависит от усилий третьих лиц. Следующее важное требование к функциям конфликта – их однородность нулевой степени, т.е. для всех t > 0. Модели (4) и (5) обладают свойством симметрии или анонимности в том смысле, что если усилия сторон поменять местами, то и вероятности их победы также поменяются местами.

С. Скапердас и др. отмечают, что несмотря на наличие значительного числа публикаций по моделированию конфликтов, конкурсов и аукционов в различных сферах деятельности, лишь в небольшом количестве публикаций затрагиваются вопросы верификации функций конфликта на реальных данных ^[5].

Рассмотрим функцию боя, основанную на модели Г. Таллока и учитывающую положения военного искусства и психологические характеристики бойцов ^{[8, 9]}. Вероятности победы первой p_x(x, y) и второй p_y(x, y) стороны в бою равны:

, , (6)

где: m – параметр формы; q – соотношение сил сторон (превосходство первой стороны); b > 0 – параметр боевого превосходства первой стороны над второй. Параметр формы позволяет разделить модели по видам: оперативно-стратегические, тактические и модели боестолкновений небольших по численности групп.

В математической статистике для проверки гипотез о виде распределения наиболее часто используется критерии хи-квадрат Пирсона (для простых гипотез) и Фишера (для сложных, с оценкой параметров распределения). Пусть проводится n независимых испытаний, каждое из которых может иметь r различных исходов. Вероятности этих исходов равны p₁, p₂, …, p_r, если в последовательности испытаний они встретились m₁, m₂, …, m_r раз. По теореме Пирсона в случае справедливости основной гипотезы распределение статистики хи-квадрат

(7)

при увеличении объема выборки стремится к распределению хи-квадрат с r–1 степенями свободы. В противном случае эта статистика стремится к бесконечности.

• Верификация функции победы в конфликте

Сведем данные по стратегическим операциям ^{[10, 11]} в таблицу 1. Начальную численность советских войск в i-м сражении обозначим x_i, противника – y_i. Исход i-го сражения s_i равен 1, если победили советские войска, иначе s_i = 0.

Таблица 1

Начальные численности сторон и исходы операций

Значения отношений численностей сторон разбиты на 6 интервалов. Результаты вычислений статистики хи-квадрат для каждой модели представлены в таблице 2.

Таблица 2

Статистика хи-квадрат по результатам стратегических операций

В первом случае параметр боевого превосходства в i-й операции полагался равным единице. Во втором случае параметр вычислялся по формуле

,

где: b_ls – отношение начальных численностей войск сторон; b_r – отношение численностей орудий и минометов; b_t – отношение численностей танков, самоходных и штурмовых орудий; b_s – отношение численностей самолетов. Данное выражение учитывает опыт советских стратегических операций 1944–1945 гг.: в среднем по операциям пехота, танки, артиллерия и авиация вносили примерно одинаковый вклад в потери сторон ^[12].

Из таблицы видно, что применительно к стратегическим операциям функция хи-квадрат минимальна при параметре формы m = 2. Отдельно учитывать соотношение в боевой технике сторон нецелесообразно, так как, во-первых, боевые расчеты и экипажи уже входят в общую численность, а, во-вторых, поиск оптимального соотношения между родами войск в операции является отдельной самостоятельной задачей.

Заключение

Таким образом, в работе исследованы динамическая модель боя Осипова–Ланчестера и функции конфликта Таллока–Скапердаса. Верификация модели конфликта по результатам стратегических операций в годы Великой Отечественной войны позволила сделать вывод о глубокой связи между двумя указанными типами моделей (квадратичные модели боя).

Полученное расширение функции конфликта Г. Таллока (вероятность победы в бою, сражении, операции) целесообразно применять при подготовке боевых действий для обоснования потребных сил и средств на бой (сражение, операцию).

Перспективным направлением дальнейших исследований является разработка моделей ведения боевых действий на основе модели М.П. Осипова, марковских цепей и имитационных моделей.