Оптимизация времени изучения элементов учебного материала различной важности: моделирование на компьютере

Дальнейшее развитие математической теории обучения требует комплексного подхода к изучению системы “учитель–ученик” ^[4]. Среди современных методов исследования педагогических систем особое положение занимают методы математического и имитационного (или компьютерного) моделирования. Их сущность состоит в том, что реальная педагогическая система заменяется абстрактной моделью, –– некоторым идеализированным объектом, который повторяет наиболее существенные свойства изучаемой системы. При этом исследуется поведение модели с помощью математических методов [1–2, 5, 8] и компьютерной имитации ^{[3, 5–7]}. Последнее означает создание компьютерной программы, которая ведет себя подобно исследуемой системе, и проведение серии вычислительных экспериментов при различных параметрах, начальных условиях и внешних воздействиях. Применяются многокомпонентные модели обучения ^{[6, 7]}, автоматный подход ^{[1, 5, 8]}, мультиагентное моделирование ^[3], при котором каждый учащийся заменяется программным агентом, функционирующим независимо от других агентов. Основная задача имитационного моделирования процесса обучения состоит в том, чтобы, зная параметры учащихся, характеристики используемых методов и распределение учебной информации (программу обучения), определить уровень знаний или сформированности навыка у учащихся в последующие моменты времени.

Важным направлением дидактики является оптимизация процесса обучения, нахождение таких форм и методов организации учебного процесса, при которых функционирование системы образования было бы наиболее эффективным, то есть при наименьших затратах приносило бы максимальную пользу. Оптимизационная задача ^{[5, с. 86–90]} в общем случае заключается в нахождении параметров учебного процесса (распределения учебного материала, длительности и количества занятий, зависимости уровня требований учителя от времени и т.д.), при которых уровень знаний учащихся в конце обучения достигнет заданного значения, а сам процесс обучения будет удовлетворять наложенным ограничениям на затраты времени и усилий.

Частным случаем этой общей оптимизационной задачи является проблема нахождения оптимального распределения времени изучения элементов учебного материала различной важности. Будем считать, что коэффициент важности ЭУМ тем выше, чем больше необходимость данного ЭУМ для понимания последующих вопросов этой и других дисциплин. Можно предположить, что в конце курса проводится тестирование, в ходе которого в первую очередь проверяется знание наиболее важных вопросов. Коэффициент важности для каждого ЭУМ может быть определен, например, методом экспертных оценок.

Дидактическая система “учитель–ученик” относится к самонастраиваемым системам управления. Учитель выбирает такие методы обучения, при которых ученик достигает требуемых результатов и выполняет учебную программу. При этом он стремится минимизировать суммарные усилия и затраты времени на обучение, максимизируя целевую функцию –– уровень знаний ученика Z. Ученик в свою очередь так организует свою деятельность, чтобы минимизировать разность между уровнем требований учителя U и уровнем приобретенных знаний Z (или степенью выполнения учебного задания). Установив оптимальные условия обучения, получаем траекторию, по которой должна в идеале развиваться система “учитель–ученик”.

Допустим, учебный курс включает в себя N=100 элементов учебного материала (ЭУМ) e_1, e₂, …, e_N, и заканчивается тестированием. ЭУМ имеют одинаковую сложность, но различную важность V_i, которая зависит от степени использования данного ЭУМ при решении задач, усвоении последующих вопросов, выполнении заданий теста. Если V_i = 0, то важность i–ого ЭУМ минимальна, то есть его изучать в рамках данного курса не нужно. При V_i = 1 важность i–ого ЭУМ максимальна; его изучение необходимо для понимания последующих вопросов и выполнения заданий итогового контроля. Пусть курс содержит N ЭУМ различной важности; будем считать, что она связана с номером ЭУМ i соотношением: V_i =i/N. Время изучения i–ого ЭУМ обозначим через t_i. Общее время изучения T, равное сумме всех t_i (i =1, 2, …, N) остается постоянным, коэффициент усвоения A учащегося задан. Общий результат обучения (и тестирования) R равен взвешенной сумме произведений уровня усвоения Z_i каждого ЭУМ на их важность V_i.

Необходимо: 1) определить оптимальные значения t_i длительностей изучения каждого ЭУМ, при которых результат тестирования R будет максимальным; 2) получить соответствующую зависимость уровня знаний Z_i ученика от важности V_i рассмотренных вопросов; 3) изучить зависимость распределения времени t_i изучения ЭУМ от их важности V_i при различных коэффициентах усвоения A и продолжительностях обучения T.

Будем исходить из того, что знания ученика Z_i увеличиваются со скоростью, пропорциональной разности (U-Z_i)_, а забывания не происходит. Получаем дифференциальное уравнение [5–7]: dZ_i /dt = A(U–Z_i). Уровень требований учителя U для каждого ЭУМ равен 1. При этом знания Z_i i–ого ЭУМ в результате обучения увеличиваются от 0 (ЭУМ совсем не изучен) до некоторого значения, не превышающего 1. Максимально возможное значение Z_i равно 1, что соответствует полному изучению i–ого ЭУМ. Приращение знаний за время dt равно A(U–Z_i)dt. Рассматриваемое дифференциальное уравнение можно записать в конечных разностях и составить алгоритм для его численного решения.

Программа должна моделировать изучение первого ЭУМ в течение времени t₁, затем изучение второго ЭУМ в течение времени t₂ и т.д., изучение N–ого ЭУМ в течение времени t_N. При этом общее время прохождения курса T остается постоянным. Будем считать, что результаты R тестирования пропорциональны взвешенной сумме знаний ученика всех N ЭУМ с учетом их важности: R=V₁*Z₁+…+V_i*Z_i +…Z_N*V_N, где Z_i –– знания учеником i–ого ЭУМ из интервала 0-1. Определив уровень усвоения каждого ЭУМ, можно рассчитать R в конце обучения. Чтобы решить рассматриваемую оптимизационную задачу, необходимо многократно случайным образом варьировать время t_i изучения i–ого ЭУМ и принимать такие значения t_i, при которых результат тестирования R в конце обучения становится выше.

В рассматриваемой математической модели используются формулы:

Задача состоит в определении таких значений t_i (i = 1, 2, …, N), при которых R достигает максимума. Компьютерная программа ПР–1, написанная на языке Pascal, решает данную оптимизационную задачу. Она содержит:

1. Блок задания параметров модели, в котором задаются: 1) коэффициент усвоения A ученика; 2) количество N изучаемых ЭУМ; 3) общее время обучения T; 4) важность каждого ЭУМ V_i, которая равномерно растет от 0 до 1 с шагом 1/N по закону V_i = i / N; 5) начальные значения оптимизируемых переменных t_i (время изучения i–ого вопроса). В программе ПР–1 N=50, T=50 УЕВ (усл. ед. времени), t_i = T / N = 1 УЕВ (усл. ед. времени).

2. Процедуру Obuchen, в которой осуществляется моделирование обучения. Она, исходя из известных t_i, определяет уровень знаний ученика Z_i по каждому i–ому вопросу, а также результат тестирования R.

3. Процедуру Grafik, которая очищает экран и строит графики: 1) зависимости t_i(V_i) времени изучения различных ЭУМ от их важности; 2) зависимости Z_i(V_i) уровня знаний среднестатистическим учеником различных ЭУМ от их важности V_i после прохождения обучения.

4. Цикл Repeat … until, в котором собственно и осуществляется поиск оптимального распределения времени изучения ЭУМ различной важности. В нем: 1) случайным образом выбираются 5 ЭУМ, изменяются их время изучения t_i на небольшие случайные величины; 2) пересчитываются все остальные t_i так, чтобы их сумма оставалась равной T; для этого в цикле вычисляются новые значения t’_i =t_i*T / T’, где T’ – сумма всех t_i после их изменений; 3) снова моделируется изучение N вопросов (процедура Obuchen;) и определяется его результат R’; 4) полученное значение R’ сравнивается с предыдущим; если оно увеличилось, то изменения принимаются, а иначе –– отвергаются. Эта последовательность действий многократно повторяется до тех пор, пока результат тестирования R не достигнет максимума.

Общее время изучения T = t₁+t₂+…+t_N всего курса и коэффициент усвоения учащегося A заданы. Необходимо: 1) определить оптимальные значения длительностей изучения каждого вопроса, при которых результаты тестирования R ученика в конце обучения будет максимальными; 2) изучить зависимость t_i(V_i) распределения времени изучения ЭУМ от их важности при различных коэффициентах усвоения A; 3) получить соответствующую зависимость Z_i(V_i) уровня усвоения учеником изучаемых вопросов от их важности.

Так как забывания не происходит, сложность всех ЭУМ одинакова и не зависит ранее изученных вопросов, то и результат моделирования не будет зависеть от того, в каком порядке изучаются рассматриваемые N элементов учебного материала.

В результате работы программы ПР–1 строятся графики t_i(V_i) и Z_i(V_i) в случае, когда результат тестирования R конце обучения максимален. При N=100, T=100 УЕВ, получаются кривые, изображенные на рис. 1. Для каждого A существует критический уровень важности V_k; те вопросы, у которых V<V_k, изучать не следует (t_i=0). При низком коэффициенте усвоения A=0,3 нужно изучать лишь те вопросы, важность которых велика, затрачивая на них больше времени (рис. 1.1, кривая 1). Вопросы, имеющие важность V_i < 0,55, изучать не следует. При увеличении A ученик быстрее усваивает информацию, поэтому критический уровень важности V_k снижается (кривые 2 и 3, соответствующие A=0,8 и 1,7). При оптимальном обучении для любых A уровень усвоения ЭУМ по мере увеличения их важности растет (рис. 1.2). Так как вопросы, важность которых ниже V_k, не изучались, то соответствующий уровень их усвоения Z_i равен 0.

На рис. 2 представлены кривые t_i(V_i) и Z_i(V_i), получающиеся в результате решения рассматриваемой оптимизационной задачи при N=50 и различных длительностях обучения T. Графики 1, 2, …, 6 соответствуют T=10, 50, 100, 150, 200, 250. Из них видно, что при увеличении T критическое значение V_k смещается влево, число не изучаемых вопросов с низкой важностью V<V_k уменьшается. Время изучения t_i каждого ЭУМ с V>V_k растет, уровень его усвоения учащимся Z_i также увеличивается, стремясь к 1.

Если провести серию вычислительных экспериментов при различных значениях T, то можно получить график зависимости оптимального результата тестирования R от общего времени T изучения курса (рис. 3). Получается возрастающая кривая, которая при увеличении T стремится к некоторому пределу. Аналогичный результат имеет место при фиксированных N, T и изменяющемся коэффициенте усвоения A.

Обсуждаемая модель процесса обучения позволила исследовать зависимость оптимального распределения времени изучения отдельных вопросов (ЭУМ) от параметров A, N, T. Было установлено следующее: 1) характер распределения t_i(V_i) сильно зависит от соотношения коэффициента усвоения ученика A, количества изучаемых вопросов N и длительности обучения T; 2) для конкретного набора A, N, T существует критическое значение важности V_k; вопросы с V<V_k изучать не следует; 2) при уменьшении A, T и увеличении N критическое значение V_k растет, поэтому следует изучать только ЭУМ, имеющие высокую важность; 3) при больших A, T и небольших N следует изучать как важные, так и не очень важные ЭУМ; при этом на более важные вопросы необходимо затрачивать больше времени, чем на менее важные; 4) оптимальное распределение уровня усвоения учеником различных ЭУМ в зависимости от их важности характеризуется возрастающей функцией Z_i(V_i); 5) при увеличении коэффициента усвоения A и времени изучения курса T уровень усвоения учащимся изучаемых вопросов увеличивается, общий результат обучения (и тестирования) R возрастает, стремясь к некоторому предельному значению. Полученные решения рассматриваемой оптимизационной задачи соответствуют основным положениям теории обучения.